寻找“最好”（2）——欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程(Euler -Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法，其最初的想法是初等微积分理论中的“可导的极值点一定是稳定点（临界点）”。当能量泛函包含微分时，用变分方法推导其证明过程，简单地说，假设当前的函数（即真实解）已知，那么这个解必然使能量泛函取全局最小值。
泛函
我们很清楚函数的概念，它大致是，将一个自变量扔到一个黑盒里，经过黑盒的暗箱操作，最终得到了一个因变量：
泛函数是将一个函数作为自变量，经过黑盒，最终得到一个实数的因变量：
可以说，泛函就是函数的函数，是更广泛意义上的函数。
欧拉-拉格朗日方程
最速降线
有一种泛函称为简单泛函，它的长相是这样：
其中L是一个确定的函数，之所以叫简单泛函，是因为只传递了三个参数，复杂一点的话还可以继续传递f的高阶导数。现在的问题是，如果A处于极值点，它对应的f(x)是什么？
这实际上是求一个具体函数，使得泛函能够取得极值。一个典型的例子是最速降线问题：从所有连接不在同一铅垂线上的定点A、B的曲线中找出一条曲线，使得初始速度为0的质点，受重力作用，由A沿着曲线滑下时以最短的时间到达B：
这里我们将曲线看作路径f关于时间t的函数：
ΔSi是在极短时间Δti内沿着曲线移动的微小弧长，此时的瞬时速度是ΔVi，距离=速度×时间：
重力加速的推论，在t时间处的速度v2 = 2gh：
质点从A点到B点的总时间：
根据弧长公式，可以将dS化简，进一步写成（关于弧长公式，可参考：《数学笔记25——弧长和曲面面积》）：
把结论和简单泛函做个对比，可以看到二者形式相吻合：
最右侧的式子并没有严格映射到L(x,f(x),f’(x))，因为在函数中并没有直接使用到参数t，这无所谓了，可以理解成虽然传递了参数t，但实际上t并没有起任何作用，就像y (x) = 1一样，无论传递任何x，最终结果都是1，但它仍然是一个y关于x的函数。现在回到最初的问题，AB间有无数条曲线，每条曲线都可以求得时间T[f]，在众多的曲线中，有一条唯一的曲线能够使得T[f]取得最小值，这个f(x)应该长成什么样？
EL方程的推导
这里暂且耍一下流氓，抛开具体的速降问题，只看A[f]，并且假设f0(x)就是符合条件的最优函数。现在，将f0(x) + k(x)定义为是有别于最优曲线f0(x)的其它函数，其中k(x)可以是任意函数。如果如下定义f(x, k)：
因为f0(x)是最优函数，此时A[f0]有最小值，则一定有：
由于任意函数k(x)不好定义，为了能够使k(x)任意小，令：
η是任意函数，当ε取极小值时，可以看作是对f0(x)的轻微扰动；还需要额外定义的是，在端点处是不能扰动的，即εη(A) = εη(B) = 0，这对于任意ε都适用，所以η(A) = η(B) = 0。注意ε是对f0(x)的扰动程度，εη(x)是扰动后的增量，εη(x) = 0说明扰动为0，也就是无扰动，f(x) + εη(x)才是扰动后的函数。
由于假设f0(x)是最优函数，所以可以将f0(x)看作已经确定的函数，如果再将任意函数η(x)看作一个确定的函数，那么A可以看成ε的函数，若A’ = 0，函数存在极值，这已经变成了极值点的求解：
根据链式法则（可参考《多变量微积分笔记4——全微分与链式法则》）：
根据分部积分（可参考《单变量微积分笔记24——分部积分》）：
η(x) = 0说明对f0(x)无扰动时，A能取得极值，但它对f0的具体形式无任何帮助；因此最优函数f0(x)的具体形式由第一个解确定：
这就是欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrage equation），可以帮助我们求解泛函下的极值，这里L是已知的。它的最初的思想来源于微积分中“可导的极值点一定是稳定点（临界点）”。它的思想在于：假定当前泛函的解已知，那么这个解必然使得泛函取得最小值（假定是最小值）。换言之，只要在泛函中加入任何扰动，都会使泛函的值变大，所以扰动为0的时候，就是泛函关于扰动的一个极小值。扰动用一个很小的数ε乘上一个连续函数η(x)。当ε趋近于0，意味着扰动也趋近于0。所以当扰动为0时，泛函对扰动程度的导数也为0。这就非常巧妙的把对函数求导的问题转化成了一个单变量求导问题。
需要注意的是，欧拉-拉格朗日方程的前提条件是端点不会扰动，也就是说需要固定两个端点。
最速降线的解
有了欧拉-拉格朗日方程，终于可以计算最速降线的最优解：
其中f = f(t)。由于：
将①代入：
现在，使用参数方程：
之所以令f’ = cot(θ/2)，是因为在θ的定义域[0, 2π]上，f’可以取任意值：
y = cot(x/2)， 0 ≤ x ≤ 2π
上式最终将f(t)转换为关于θ的函数，对上式直接求导：
通过参数方程f = f(t)，t = t(θ)，f’ = cot(θ/2) 求导：
最终的曲线用参数方程表示：
这正是摆线的参数方程。本节三角替换、参数方程、摆线的相关知识可参考：《线性代数笔记6——直线和曲线的参数方程》和《单变量微积分笔记20——三角替换1（sin和cos）》
大概古人就理解了最速降线，所以中国古建筑的屋顶的斜坡并不是直线，这样可以加快雨水的流动（不知道对不对，也有可能仅仅为了美观）：
两点间的最短路径
初中几何中给出这样一个公理：两点间直线距离最短。记得当时老师的解释是，公理是大家公认的，不需要证明。这对初中来说没错，但公理实际上也是可以证明的。
这可以使用反证法证明，但是在这里，我们想使用解析的方式证明。
AB两点间的曲线有无数条，需要取其中最短的一条。令曲线的函数是y = y(x)，那么根据弧长公式（可参考《单变量微积分笔记25——弧长和曲面面积》），曲线的长度可表示为：
这有点像欧拉-拉格朗日方程的泛函了：
现在将弧长和欧拉-拉格朗日方程对应：
由于L中仅用到了y’，并没有用到y，所以L关于y的偏导等于0：
y = ax + b正是直线方程，所以AB间最短的距离是直线。可以看出，初等数学为高等数学的推导提供了依据，高等数学反过来又能证明初等数学。
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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