ML（附录3）——过拟合与欠拟合
过拟合与欠拟合
我们希望机器学习得到好的模型，该模型能够从训练样本中找到一个能够适应潜在样本的普遍规律。然而，如果机器学习学的“太好”了，以至把样本的自身特点当作潜在样本的一般特性，这就使得模型的泛化能力（潜在样本的预测能力）下降，从而导致过拟合。反之，欠拟合就是学习的“太差”，连训练样本都没有学好。
欠拟合容易处理，比如在决策树中扩展分支，在神经网络中增加训练轮数，需要重点关注的是麻烦的过拟合。
当训练数据很少时，如果使用了过多的特征，将会导致过拟合：
图三是一个明显的过拟合，它使用了高阶多项式增加一些特新特征，得到的复杂曲线将样本学些的“太好”了，以至失去了泛化性。
正则化
如果发生了过拟合问题，可以通过作图来观察，但是当遇到很多变量时，画图将变得困难，此时我们应该如何处理？
一种常用的办法是减少变量的选取，比如对于房价的预测，影响房价的特征可能有上百个，但其中的某些特征对结果的影响很小，例如邻居的收入，此时就可以去掉这些影响较小的变量。这类做法非常有效，但是其缺点是当你舍弃一部分特征变量时，你也舍弃了问题中的一些信息。也许所有的特征对于预测房价都是有用的，我们实际上并不想舍弃一些特征。
另一种方法就是正则化，特允许我们保留所有的特征变量。
当我们有很多特征变量时，其中每一个变量都能对预测产生一点影响，在下图中，如果用一个二次函数来拟合这些数据，那么它给了我们一个对数据很好的拟合。然而，如果我们用一个更高次的多项式去拟合，最终将得到一个过拟合的复杂曲线。
如果学习策略是平方和损失函数，那么我们的目的就是找到合适的θ使得J(θ)最小化：
应对过拟合的策略就是加上惩罚项，从而使θ3和θ4足够小：
1000 只是随便写的某个较大的数字。现在，因为1000θ32和1000θ42会使J(θ)变得很大，为了最小化J(θ)，需要使θ3≈0，θ4≈0，这样将得到一个近似二次函数的新函数，这会是一个更好的模型函数。最终，我们恰当地拟合了数据，所使用的正是二次函数加上一些贡献很小的特征项x3和x4 (它们对应权重接近0)。
上面的方法就是正则化的思路，如果特征值对应一个较小的权重，那么最终将会得到一个简单的假设。
在上面的例子中，由于我们知道x3和x4是重点惩罚对象（对结果影响较小），所以只惩罚它们，但是如果有很多特征，并且我们不知道如何选择关联度更好的参数，如何缩小参数的数目等等，应该如何处理呢？
因为我们并不知道是哪一个或哪几个要去缩小，因此在正则化里，需要减小代价函数中的所有特征值：
上式中n是特征的个数，λ是正则化参数。需要注意的是，惩罚项从θ1开始。按照惯例，我们没有去惩罚 θ0，因此 θ0 的值是大的，但在实践中无论是否包括θ0，差异都不大。
称为正则化项，其目标有两个：希望假设能够很好地适应训练集，想要保持参数值较小。λ的目的就是控制二者之间的平衡，从而保持假设的形式相对简单，以避免过度的拟合。
对J(θ)求偏导：
如果使用梯度下降：
如果λ很小，则丧失了正则化的意义，相当于所有惩罚项都接近于0，这又将导致过拟合；如果λ 很大，将会非常大地惩罚参数θ1 θ2 θ3 θ4 …，最终会使所有这些参数都接近于零，导致欠拟合，如下图所示：
如果我们这么做，相当于去掉了θj≈0对应的特征，只留下了一个简单的假设，这个假设只能表明房屋价格等于 θ0 的值，类似于拟合了一条水平直线，对于数据来说这就是一个欠拟合，它不会去趋向大部分训练样本的任何值。
其它方法
上面的正则化方法实际上被称为L2正则化（L2 regularization），其原型是新损失函数等于原损失函数加上正则化项，其中J0(θ)表示原损失函数：
对θj求导：
L1正则假设特征是拉普拉斯分布，可以保证模型的稀疏性，也就是某些参数等于0；L1正则化导出的稀疏性质已被广泛用于特征选择，可以从可用的特征子集中选择有意义的特征。
L2正则假设特征是高斯分布，通常倾向让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，可以说“抗扰动能力强”。
此外，还有early stopping、数据集扩增（Data augmentation）、dropout等方法能够降低过拟合。
参考：
Ng视频《Logistic Regression》
周志华《机器学习》
《机器学习导论》
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！
扫描二维码关注公众号“我是8位的”
