概率笔记4——重要公式

　　概率公式是概率计算中的重要环节，全概率公式、贝叶斯公式等可以运用于复杂事件的概率，而所有这些公式又是由基本公式推导出来的。

基本公式

　　对于任意事件A和B　

　　公式1说的是A发生的概率等于1减去A不发生的概率（对立事件的概率）。换种说法可能更好理解，A发生的概率加上A不发生的概率等于1，也就是A事件要么发生要么不发生。这是废话，也是很重要的实话，因为很多时候直接计算A发生的概率很困难，但计算A不发生的概率确很简单。

　　公式2说的是当A发生且B不发生的概率；公式3是当且仅当A,B中至少有一个发生的概率；公式4不解释。2、3和集合运算一致，公式3还有两个等同写法：

　　值得注意的是，不能像下面这样写：

　　A和B是事件，事件是集合，所以可以使用集合符号，但P(A)和P(B)是概率，是具体的数值，所以不能使用集合符号。

互斥事件

　　如果有两个事件A和B，发生了A就不会发生B，发生了B就不会发生A，那么他们两个是互斥的，如果用集合表示，则A∩B = φ。互斥事件也叫互不相容事件。

　　对于互斥事件A和B：

　　这实际上来自基本公式：

　　对于更多的互斥事件，如果A₁,A₂,A₃…A_n两两互斥，则当且仅当A₁~ A_n中至少有一个发生的概率：

　　上式更专业的写法：

独立事件

什么是独立

　　两个事件是独立的，直觉上是指：在一次实验中，一个事件的发生不会影响到另一事件发生的概率，二者没有任何关系。如，骰子掷出“6点”的事件和骰子掷出“1点”的事件是相互独立的。

　　需要注意的是，“互斥”是描述的是集合关系，“独立”描述是概率关系，二者间不在同一维度，不要试图将二者联系到一起。

　　独立事件有一个充要条件：如果n个事件互相独立，那么如果它们中的任意一部分换成各自的对立事件后，所得的新n个事件互相独立：

公式

　　对于独立事件A和B，二者同时发生的概率等于二者的乘积：

　　其等同写法：

　　注意，只有在A和B是独立事件时上式才成立。

　　推广到更多独立事件，如果A₁,A₂,A₃…A_n相互独立，则A₁~ A_n同时发生的概率：

　　更专业的写法：

　　如果A₁,A₂,A₃…A_n相互独立，则当且仅当A₁~ A_n中至少有一个发生的概率：

条件概率

垂帘听政

　　条件概率是指在A事件发生的条件下，事件B发生的概率，用符号表示：

　　中间的竖线看成帘子，A是太后，B是幼主，A对B垂帘听政。

公式

　　实际上两个公式是一样的，将公式1左右两侧同时乘以P(A)就得到了公式2。

　　需要注意的是，这里并没有指明A和B是独立事件。如果A和B是独立事件，根据独立事件公式，P(AB) = P(A)P(B)，最后一项由P(B|A)变成了P(B)，意思是B的发生与A无关，即太后想要垂帘听政，但是幼主长大了，不听她的。

　　注意，虽然P(AB) = P(BA)，但P(A|B)≠P(B|A)：

　　对于更多事件，可以反复使用公式1和2：

全概率公式

引例

　　一个村子里有三个独立作案的小偷，小偷参与盗窃的概率和盗窃能力已知，每次盗窃事件仅与其中一人有关，求村子失窃的概率。

　　有点难度了。

　　首先需要将问题转换成数学模型。令B事件为村子失窃事件，所求的是P(B)；设三个小偷A₁,A₂,A₃，小偷的全集就是 Ω = { A₁∪A₂∪A₃}；每次盗窃事件仅与其中一人有关，A₁,A₂,A₃是互斥的；小偷盗窃能力相当于该小偷在实施偷盗的情况下失窃的概率，P(B|A_i)。现在：

　　最终得到的就是全概率公式了，实际上就是由简单概率一步步推导而来，最重要的还是建立正确的概率模型。

公式

　　如果事件A₁、A₂、A₃…A_n 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集Ω；并且P(A_i) > 0，则对任一试验B有：

　　右侧的两个表达式之所以相等，是因为：

不同的马甲

　　全概率公式的马甲众多，下面是教科书中的一个示例。

　　电子厂所用原件是由三个厂家提供的，已知以下数据：

原件场	次品率	供货份额
1	0.02	0.15
2	0.01	0.80
3	0.03	0.05

　　原件在仓库混合存放，每个元件没有明显区别，从仓库中随机取一个，次品的概率是多少？

　　数学模型：A₁,A₂,A₃分别表示元件是由三家元件场生产的，Ω = { A₁∪A₂∪A₃}；从仓库中随机取一个，得到次品的事件是B，P(B)为所求；P(A_i)是供货份额，P(B|A_i)是A_i的次品率。

贝叶斯公式

公式

　　大名鼎鼎的公式，常见的一个版本：

　　很多时候，求P(A|B)很困难，但求P(B|A)却很容易。上面的公式实际上是条件概率公式简单的推导：

　　结合全概率公式：

示例

　　对于上一节的元件次品问题，从仓库中随机取一个，如果是次品，那么该次品是哪个厂商的概率最大？

　　数学模型：A₁,A₂,A₃分别表示原件是由三家元件场生产的，从仓库中随机取一个，得到次品的事件是B，P(A_i|B)就表示次品是A_i生产的概率。

先下手为强

　　最后来看一个示例，甲乙二人轮流独立地对同一目标射击，谁先命中谁获胜，甲命中的概率是α，乙是β。现在由甲先射击，求二人获胜的概率分别是多少？

　　甲获胜的全集：{第1次射击时获胜∪第3次射击时获胜…∪第2n-1次射击时获胜}，n是自然数，n ≥ 1；甲第3次射击获胜的前提是，甲第1次射击失败且乙第2次射击失败，以此类推，甲的获胜全事件Ω = {甲第1次射击获胜∪(甲第1次射击失败∩乙第2次射击失败∩甲第3次射击获胜)…∪(甲第2n-1次射击时获胜(甲之前都失败∩乙之前都失败))}。用A、B分别表示甲乙的获胜事件，各事件之间相互独立（轮流独立射击），获胜事件之间互斥（谁先命中谁获胜，只能有一人胜出），下标表示二人出场次数，则：