多变量微积分笔记15——梯度场和势函数
梯度场的判别
如果一个向量场F = Mi + Nj是一个梯度场，它的势函数是f(x,y)，则：
所以说，对于一个在平面内处处有定义且处处可导的向量场F = Mi + Nj，如果存在My = Nx，那么这个向量场是梯度场。
示例1
对于F = -yi + xj，用上面的判别法验证：
所以F = -yi + xj不是梯度场。
示例2
F = (4x2 + axy)i + (3y2 + 4x2)j，a是一个常数，当a 的值是多少时，F是梯度场？
找出势函数
在上面的示例中，F = (4x2 + 8xy)i + (3y2 + 4x2)j是梯度场，那么如何找出它的势函数？在简单的梯度场中可以使用猜测法，但这并不总是管用，必须寻找到系统性的解决方案。
线积分法
在梯度场中线积分的轨迹C从原点开始，终点是(x1, y1)：
根据独立路径的原理，梯度场中的线积分只和起点终点有关，和路径无关，所以可以寻求更简单的计算方法：
根据线积分基本定理：
f(0,0)是一个常数，所以：
现在：
将x和y的下标去掉，就得到势函数：
这里C是一个常数，说明f是一个势函数族，就像不定积分要加上常数C一样。
验证：
不定积分法
梯度场中的势函数 f 满足：
根据微积分基本定理，导数的积分等于原函数，这里将y看作常数，对fx求x的积分：
由于fx是偏导，所以积分最后并不是加上常数C，而是一个关于y的函数g(y)。
需要注意的是，g(y)中一定不会含有x，只有这样，在求fx时g(y)才能等于0。
综合示例
示例1
判断平面向量场是否是保守场：
保守场的前提是，场处处有定义且处处可导，这里的场在x = y = 0处没有定义，所以可以直接判定不是保守场。
也可以费点力气验证，C是单位圆：
所以F不是保守场，如果绕单位园一周：
示例2
向量场中b是一个常数，
当b = ? 时该向量场是一个梯度场？梯度场的势函数是什么？
线积分法求解势函数：
不定积分法求解势函数：
选用fy求y的积分,因为看起来更简单一点：
可以看到，不定积分法要比线积分法更有效率。
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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