多变量微积分笔记15——梯度场和势函数

梯度场的判别

  如果一个向量场F = Mi + Nj是一个梯度场,它的势函数是f(x,y),则:

  

  所以说,对于一个在平面内处处有定义处处可导的向量场F = Mi + Nj,如果存在My = Nx,那么这个向量场是梯度场。

示例1

  对于F = -yi + xj,用上面的判别法验证:

  所以F = -yi + xj不是梯度场。

示例2

  F = (4x2 + axy)i + (3y2 + 4x2)j,a是一个常数,当a 的值是多少时,F是梯度场?

找出势函数

  在上面的示例中,F = (4x2 + 8xy)i + (3y2 + 4x2)j是梯度场,那么如何找出它的势函数?在简单的梯度场中可以使用猜测法,但这并不总是管用,必须寻找到系统性的解决方案。

线积分法

  在梯度场中线积分的轨迹C从原点开始,终点是(x1, y1):

  根据独立路径的原理,梯度场中的线积分只和起点终点有关,和路径无关,所以可以寻求更简单的计算方法:

  根据线积分基本定理:

  f(0,0)是一个常数,所以:

  现在:

  将x和y的下标去掉,就得到势函数:

  这里C是一个常数,说明f是一个势函数族,就像不定积分要加上常数C一样。

  验证:

不定积分法

  梯度场中的势函数 f 满足:

  根据微积分基本定理,导数的积分等于原函数,这里将y看作常数,对fx求x的积分:

 

  由于fx是偏导,所以积分最后并不是加上常数C,而是一个关于y的函数g(y)。

  需要注意的是,g(y)中一定不会含有x,只有这样,在求fx时g(y)才能等于0。

综合示例

示例1

  判断平面向量场是否是保守场:

  保守场的前提是,场处处有定义且处处可导,这里的场在x = y = 0处没有定义,所以可以直接判定不是保守场。

  也可以费点力气验证,C是单位圆:

  所以F不是保守场,如果绕单位园一周:

示例2

  向量场中b是一个常数,

 

  当b = ? 时该向量场是一个梯度场?梯度场的势函数是什么?

  线积分法求解势函数:

  不定积分法求解势函数:

 

  选用fy求y的积分,因为看起来更简单一点:

 

  可以看到,不定积分法要比线积分法更有效率。

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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