多变量微积分笔记14——保守场和独立路径
场论理论包括多种形式，比如简单的向量场，而梯度场则是由数量场所得到的矢量场，它的定义与坐标系的选择无关。梯度场在微分学、积分学以及算子的定义方面起着重要的作用。梯度场在物理学中也称为保守场，这来源于能量守恒定律。
梯度场与势函数
f(x, y)是关于x和y的函数，如果存在向量场F = ▽f，也就是向量场F是f 的梯度，那么称F是梯度场，f是梯度场F的势函数。
线积分的基本定理
单变量微积分的基本定理告诉我们，对原函数的导数积分会得到原函数。相应地，线积分的基本定理是这样描述的：如果对一个函数的梯度做线积分，就能得到原函数。
线积分的基本定理告诉我们，如果沿一条曲线对一个函数f的梯度做积分，即对一个梯度场做积分，计算结果将会是f在P1点的值减去f在P0点的值：
需要注意的是，上式仅在梯度场中成立（下一章将具体介绍如何确定一个场是否是梯度场）。
根链全微分(可参考《多变量微积分4——全微分与链式法则》)：
这就和单变量微积分的基本定理一致。
定理的证明
将x和y参数化，C是在 t 时间内移动的轨迹：
定理的应用
在上一章《线积分》中有这样一个示例：
如下图所示，在向量场F = yi + xj中，质点移动的轨迹是C1→C2→C3，三段轨迹围成了闭合的扇形，扇形的半径是1，弧度是 π/4，求力场中对质点的总功。
上一章花了比较大的力气计算总功，有了基本定理，就可以使计算简化。很容易看出，F = yi + xj是一个梯度场，它的势函数是f = xy，所以：
独立路径
线积分基本定理的一个重要结论是独立路径：在梯度场中，如果需要计算一个线积分，无论怎样的路径，积分值都只跟起点和终点的值有关。在梯度场中，下图三条路径的线积分是等价的。
对于闭合区间，可以用一个新的积分符号表示，以此强调闭合：
闭合的独立路径
在保守场中，如果C是闭合曲线，那么沿C所做的功是0；相反，如果不是保守场，那么一定存在某个地方，沿着闭合曲线所做的功不为0。反过来说，如果在一个向量场中，沿着某条闭合曲线做的功为0，这并不足以说明这个向量场是保守场，还必须强调是任意闭合曲线。
综合示例
梯度场的势函数是f(x,y) = x5 + 3xy3，质点运动的轨迹C是半径为1的半圆，计算C在梯度场中的线积分。
尝试使用3中方法。
1.根据线积分基本定理：
2.根据独立路径，下面两个曲线的线积分相等：
在直线轨迹中，y = 0，dy = 0
3.使x和y参数化：
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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