多变量微积分笔记4——全微分与链式法则

全微分

　　《数学笔记11——微分和不定积分》中说明了什么是一元函数的微分，类似地，在多元函数中同样存在微分的概念，它有一个确切的名字——全微分。

　　《多变量微积分笔记1——偏导数》中，曾经提到过近似，对于f = f(x, y, z)的微小改变Δf，是对其所有变量的微小扰动的总量：

　　当Δx→0，Δy→0，Δz→0时，约等于就变成了等于：

　　这就是全微分，全微分包括所有能改变函数值的因素。

链式法则

　　对于f = f(x, y, z)，x = x(t), y = y(t), z = z(t)，也就是xyz都是关于t的函数（可参考《线性代数笔记6——直线和参数方程》）。如果将t看作时间，此时Δf可以看作是在微小时间Δt变化后产生的影响：

　　这就是链式法则的内容。

　　也可以从微分的角度得出链式法则：

　　示例

　　w = x²y + z, x = t, y = e^t, z = sint，求w的全微分

　　上面是根据链式法则的计算，如果直接把xyz代入w，w就变成了t的函数，对w直接求导：

　　和链式法则得到了相同的结果，这说明链式法则和直接代入是一样的。但如果x(t),y(t),z(t)很复杂，不能写成t的显函数，仅知道他们的偏导，那就只能使用链式法则了。

证明导数的乘法法则

　　导数的乘法法则是这样描述的：(uv)’ = u’v + uv’，可以用链式法则加以证明。

　　令f = uv，u = u(t), v = v(t)

证明导数的除法法则

　　用链式法则证明导数的除法法则：u/v = (u’v = uv’)/v²

　　令f = u/v，u = u(t), v = v(t)

对多变量使用链式法则

　　在极坐标中，x = x(u, v), y = (u, v)，退化成直角坐标后f = f(x, y)，如何求f的全微分？这与之前不同，将x,y代入f后仍有两个变量，这需要连续使用链式法则：

　　x和y的微小改变导致了f的改变，而u和v的微小改变有导致了x和y的改变，这样传递的结果就变成了u和v的微小改变有导致了f的改变。

　　需要注意的是最终结果中的偏导：

　　对于偏导，不能像导数一样使用约分，即：

　　也就是说d可以消元，δ则不行。

综合示例

示例1

　　f = f(x, y), x = rcosθ，y = rsinθ，求df

示例2

z = x² + y²,x = u² – v² ,y = uv，求z的全微分

解法一，使用链式法则：

　　解法二，直接代入：

 

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