单变量微积分笔记30——无穷级数和收敛判定
希腊的哲学家芝诺曾经辩论说，一支箭永远不能达到它的目标。他说，首先箭要到达目标距离的一半，然后又必须到达剩余距离的一半，然后还有一半，这样就没有穷尽。因为这个旅程有无限个部分，所以箭要花费无限的时间才能结束这个旅程。这就是“芝诺悖论”。芝诺的结论是——时间是不存在的。尽管他自己也不相信这个结论。这个问题看似诡异，但在数学面前，神秘荡然无存，破解问题的关键就是无穷级数。
悖论的谜底
把芝诺问题用数学表达就是：
更普遍的写法是：
其实很早就有人揭开了悖论的谜底，先将等号两边同时乘以a：
所以芝诺问题的最终答案是1。需要注意的是，只有当 -1 < a < 1时上述公式才成立，否则结果将是发散的。
无穷级数
对于和几何级数类似的和式，用数学符号表示：
称SN为部分和，当N→∞时，和式就是无穷极限：
无穷极限S的结果可能是收敛的，有可能是发散的。
无穷级数的收敛性
我们感兴趣的第一个问题是无穷级数的收敛性。
上式的收敛性没有那么明显，应当如何判断？
仔细观察上式会发现，它和黎曼和及其类似，如果Δx =1，那么
需要注意的的，二者接近但并不相等，积分处理的是当Δx→0的情况。
对于黎曼和，如果当Δx = 1时使用左矩形公式（数值积分可参考《数学笔记19——数值积分》），则：
如果使用右矩形公式，则：
综上：
由于lnN是发散的，所以SN也是发散的。
积分比较判别法
上面的例子展示了和式和积分的关系，这样描述“积分比较法”：如果f(x)是减函数，且f(x) > 0，则：
和式和积分的收敛性一致。
积分比较的基本思想就是用积分代替和式，因为和式通常很难计算，但和式对应的积分往往很容易，所以需要化繁为简，这也是数学的基本思想。
极限比较判别法
与积分比较类似，如果f(x)等价于g(x)，即x→∞时f(x)/g(x) = 1，其中n > 0, f, g >，则∑f(x)和∑g(x)的收敛性一致。
比值判别法
当积分法和极限法出现困难时，比值法将是一个值得尝试的方案，对于∑an，an > 0 来说，
如果L < 1，∑an是收敛的；如果L > 1∑an是发散的；如果L = 1，不能使用比值判别法。
示例
判断下面三个式子的收敛性：
a.使用积分判别法
答案是收敛的，最终结果≈2
该求解过程也可以推广到f(x) = 1/nm
b.使用极限比较判别法
结果是发散的。
c.使用极限比较判别法
结果是收敛的。
综合示例
示例1
判断下面三个式子的收敛性：
a.使用极限比较判别法
答案是收敛。
b.
题目是几何级数，答案是发散。
c.使用极限比较判别法
lnn << n，lnn/n2 << 1/n，所以结果是收敛。
d.使用比值判别法
答案是发散。
e.使用比值判别法
答案是收敛的。
示例2
判断下面式子的收敛性：
a.使用积分判别法，
答案是发散
b.使用积分判别法，
答案是收敛的。
出处：微信公众号 "我是8位的"
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