单变量微积分笔记22——三角替换3（反向替换和配方）

反向替换

　　若想求解，就必须去掉根号，但是现在发现没法用以往的知识求解了。

　　现在尝试求助于三角函数。在上篇文章中，我们提到：

　　这正好吻合根号下的表达式。现在令 x = tanθ，则：

　　在三角函数中，只有sin和cos是比较友好的，其它都是变态。所以除非一眼能看出如何简化，否则应该把所有项都写成sin和cos的形式。

　　已经变成熟悉的三角函数积分了。

　　现在的问题是如何将θ转换为x。这需要求助于三角函数的几何意义，实际上已经使用过多次，如下图所示：

　　由上图可知：，最终，经过反向替换：

三角替换的基本套路

配方

　　很多时候，根号下的表达式并不是上面表格中的标准套路，这就需要使用配方法将其凑成标准套路。

 

　　如果根号下是x²+4就好办了。我们的目标是将其变成标准套路中的一种，然后使用三角替换将根号去掉。

　　现在，结果符合标准套路了

　　最后需要利用反向替换将θ转换为x。

示例

　　根号下的东西看起来能够凑成平方差：

 

　　根据套路3进行配方：

 　　最后根据三角函数的几何意义将θ替换回x：

 

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