单变量微积分笔记18——定积分的应用3（均值、权重、概率）
均值
均值与定积分的关系
在数学笔记14——微积分第一基本定理中曾介绍过定积分与均值关系，如果y = f(x)，则当n→∞时：
用定积分的几何意义解释这个等式，如下图所示：
如果a = x0 < x1 < x2 < x3 < ……< xn = b，我们得到 y1 = f(x1), y2 = f(x2) …… yn = f(xn). Δx = (b – a)/n，那么当Δx→0时，面积就是：
进一步，两边同时除以b – a，相当于得到每个小矩形的面积：
结合本节最开始的公式：
所以Δx→0等同于n→∞
现在看来均值和积分有着密切关系，将定积分除以积分的区间长度就是均值。
常数的均值
我们知道常数的均值就是常数本身，现在用积分去解释，得到：
所以Avg(C) = C，积分更好地解释了均值这个概念。
示例
计算点在单位半圆上的点平均高度
用定积分去解释，小矩形的宽度是dx，高度就是y，如下图所示：
单位圆的曲线是x2 + y2 = 1，由此便可计算均值：
我们可以直接求得半圆的面积而不必费力计算定积分。所以点的平均高度是π/4，附带的结论是，π/2的几何意义是单位半圆的面积，用积分解释就是
均值的不同答案
均值的一个重要特征：对谁计算均值？对于不同的变量，将会得到不同的答案。
还是计算点在单位半圆上的点平均高度，这次我们使用弧长来计算，如下图所示：
设弧长为θ，dθ是半圆的1/n，dθ在x轴的投影是dx，然而dx并不是直径的1/n——在(0,1)点，dx和dθ接近；越靠近(1,0)点，dθ对应的dx越短。
在单位圆中，弧长等于半径夹角，半径上点的高度就是y = sinθ，如下图所示：
已知上图θ的取值范围是[0, π]，则对于弧长，半径上点的均值是：
看来今后在说均值时还需要加上前提条件，说明就什么而言计算的均值。
权重
权重与加权平均
在实际应用中，数值往往带有权重，这就要求计算均值时将权重也考虑进去。
对于f(x)，如果每个x对应的权重是w(x)，均值公式就变成了：
根据该公式，常数的均值依然是常数：
从一个实际例子中能更好地解释公式：如果我分别以10元，20元，30元的价格买过同一支股票，平均购买的价格是多少？
直接用(10 + 20 + 30)/3计算是不对的，想要求得平均价格，还必须知道每次购入了多少股。现在设每次购入w1, w2, w3股，那么均值就是：(10 w1 + 20w2 + 30w3)/( w1 + w2 + w3)，这是对离散值的处理，对于连续值就可以使用定积分的加权平均值公式。
示例
如下图所示，有一个由y = x2旋转而成的坩埚，高度是1m，口宽2m。锅中盛满水后热一段时间后，锅底温度是100℃，水面温度是70℃，现假设温度的函数是T = 100 – 30y，那么此时整锅水的能量是多少？能量 = 体积×温度
由于锅是圆弧形，越往上装的水越多，对整体结果的影响就越大，这实际上是将容积看成对于温度的权重。可以使用圆盘法求解该问题，这样每个圆盘切片对应的温度就是一个定值，如下图所示：
圆盘的体积是πx2dy，能量是Tπx2dy，这样整体的能量就是：
还可以根据总能量除以容积求出平均温度：
概率
用定积分解释概率
如下图所示，曲线与x轴所围图形中的一个随机点，落在 x > 1/2处的概率？
概率问题就是面积问题，因此：
用微积分解释概率的一般公式：
其中w(x)是事件x的权重，在上例中，w(x) = 1 – x2
示例
我最近在练习投掷飞镖，并且技术不错。现在我用一个带立柱的靶练习，每次都站在固定的位置联系。假设我的命中次数与靶心距离呈正态分布，靶子的半径是r米，立柱的高度是h米，宽度是w米，那么我命中立柱的概率是多少？命中次数与半径的关系：
这是典型的加权概率问题，权重就是正态分布函数：
现在将立柱绕靶子外檐环绕一周，形成一个圆环，我们需要做的首先是计算出圆环的命中率，然后用立柱的面积除以圆环的面积就能得出最终结果：
现在我们知道命中上图中绿线次数（圆环宽度）是呈正态分布的，命中的次数就是曲线在r和r+h点与x轴围成的面积：
现在需要将“线”扩展为”面”，实际上是等同于将“线”旋转一周，等同于将上图阴影部分绕y轴旋转一周，于是根据壳层法，圆环的命中次数：
综合示例
示例1
假设一个人的速度关于时间的函数是
，单位是m/s。这个人从t = 0时刻开始跑步，加速5s，减速5s，他在这10s内的平均速度？
10秒内前进的距离：
根据积分表：
平均速度：
示例2
曲线f(x) = x和g(x) = x3在第一象限相交的区域为R。
a) 在R区域，x的均值是多少？
b) 如果在R上随机取一点，该点上x > 1/2的几率是多少？
问题a可转换为加权问题，如下图所示：
在虚线上，x值的总量是sum(x) = xb (f(xb) – g(xb))，均值是xb，x的权重就是w(x) = f(x) – g(x)。根据加权平均公式：
问题b较为简单，就是计算x > 1/2时R的面积与总面积的比值：
总结
1.现在看来均值和积分有着密切关系，将定积分除以积分的区间长度就是均值。
2.对于不同的变量计算均值，将会得到不同的答案。
3.对于加权平均值：
4.概率的一般公式：
出处：微信公众号 "我是8位的"
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