单变量微积分笔记8——最值问题和相关变率
寻找最值
在上篇文章曲线构图中，我们可以非常容易地从图上找到函数的最值点。想要求得一个函数的最值点，自然会联想到通过构图寻找，但是构图并不是一个轻松的过程。观察最值点在函数曲线上的位置，可以得出结论：最值点可能存在于临界点、无限远端或驻点。因此仅需要知道这几个点便可以知道函数的最值点。
正方形的最大面积之和
很多情况下最值问题会以文字叙述的形式出现，下面是一个典型的例子：
将一段长为1米的绳子剪成两段，每段围成一个正方形，这两个正方形的最大面积之和是多少？
利用初等代数知识，设其中一段绳长为x米，则另一段是1-x，隐含约束是0 < x < 1
两个正方形的面积之和S = (x/4)2 + ((1 – x)/4)2 = (2x2 – 2x + 1)/16
边界值：当x→0+, S → 1/16； x→1-, s → 1/16
开始寻找驻点。
唯一驻点x0 = 1/2，驻点值S(x0) = 1/32
由于知道S是一个抛物线，所以可以确定驻点值就是最小值；最大值应当在抛物线两端，根据x的定义域，S的极限值是1/16，结合实际就是：其中一段绳子越短，两个正方形的面积之和最大。
盒子的最小表面积
固定容积的无顶盖的盒子，盒子底部是正方形，使其表面积最小是多少？
如上图所示，设盒子的底边x，高为y，则体积V = x2y，表面积S = x2 + 4xy
由于体积固定，将y用x表示，y=V/x2，S = x2 + 4V/x
这里含的条件是 0 < x < +∞，当x→0+, S → +∞； x→+∞, S → +∞
边界值没有指望了，寻求驻点：
有唯一驻点：
表面积的最小值就是3×21/3V2/3
这个表达式太长了。我们注意到在驻点x和y是跟体积有关的定值：
这就是答案，当x/y=2时，表面积最小。
解法2，使用隐函数微分法
V = x2y， S = x2 + 4xy
最短时间
一辆汽车从小路上的某一点开往高速路尽头的工厂，汽车在小路上和高速的速度是30和60。假设小路上处处可走，且能够随意进入高速，如果汽车要在最短时间内到达工厂，应该从哪里进入高速？
首先将其转化成数学模型：
高速路段BE的长度是b，汽车从C点进入高速，问题转换为求最佳的x。A到E的总时间：
当t’ = 0时，耗时最短，此时a2 = 3x2，所以x = 3-1/2a耗时最短。
然而这并不是全部答案，如果x > b，那么直接走直线就是最短的耗时。
相关变率
相关变率是微积分在实际问题中的一类应用，求解的是变化率问题，通常很有趣。在求解最小表面积时，我们最后使用了隐函数微分法求解，使答案直指目标，在相关变率问题中，继续尝试隐函数微分法。
汽车测速
路段的限速为100km/h，交警手持测速设备在距公路垂直距离为30米的地方对过往车辆测速。一辆汽车在该公路上行驶，测速设备探得该汽车现距离交警50米，以80km/h的速度接近交警，该车是否正在超速行驶？
根据题目可以得到下面的模型：
直角三角形的三边都是已知的，一个隐藏的因素是时间t，随着时间的变化，D和x都将发生变化。汽车对于交警的速度相当于距离D对于时间t的导数，汽车在公路上的速度相当于x对于t的导数。可使用隐函数微分法求解：
汽车未超速。
水平面上升速度
圆锥体的底面半径为4m，高为10m，以2m3/sec的速度向圆锥体注水，在高5m处，水平面上升的速度是多少？
首先将题目进行一次转换，将水深5m的图形画出来，但是再次使用圆锥体已经没有多大意义，只需要圆锥的横截面即可。由此可以把图形转化为直角三角形：
一个已知条件是注水速度，速度相当于水量对于时间的导数，要求解的是水平面高度对于时间的导数。
r和h已知，r=2h/5，利用体积公式，通过隐函数微分法：
答案是(1/2π)m/sec
悬挂模型
有一根固定长度的绳子，绳上穿有一个可移动的重物。把绳子两端固定，重物将自然下垂，问题是，重物下垂点是什么？
题目中有两个隐含的常量，绳长和两个端点的位置。这很明显要用到椭圆的知识，当绳子两端都在水平面上时，可以得到下面的几何模型：
△ACB是等腰三角形，AB和AC已知，很容易知道C的位置。
然而实际问题往往不这么简单，AB通常不在水平面上，我们将得到一个倾斜的椭圆：
这下有点难度了。
如果我们把椭圆想象成一个密闭的容器，C点看作一个小钢珠，那么无论怎样倾斜这个椭圆，小钢珠都将滑落到椭圆的最低点，也就是切线为0的点。
现在设C点的坐标为(x, y)，C就是椭圆曲线的驻点，约束公式是椭圆曲线的公式，我们又可以使用隐函数微分法了。
这似乎没有问题，但实际操作时会发现，由于椭圆是倾斜的，我们不得不引入一些其他变量，这使得该方法异常麻烦，以至于一开始就放弃了。必须想办法把约束公式转换为更简单的模型：
如上图所示，引几条辅助线，形成两个直角三角形，并且PC⊥切线。设A点的坐标是(0,0)，B点坐标为(a,b)，由此可知P和Q的坐标分别是(x,b)，(x,0)，QA=x，QC=-y，PC=b-y，PB=a-x；设绳长为L，于是约束公式变成了：
可以使用隐函数微分法了，此处分开计算。
1) 设u=x2+y2，根据链式求导法则：
2) 设u=(a-x)2+(b-y)2，根据链式求导法则：
1)和2)的求导都反复使用了链式求导法则。
3) 结合约束公式：
看上去很复杂，但是由于C点是驻点，所以y’=0，代入上式后：
这就是答案了，它展示了xy与ab的关系，但是太过复杂，严重怀疑在实际应用中是否有价值。
代数上太复杂了，可以看看它的几何意义。
如果把等式代入上图，那么得到下面的结果：
这就是有意义的结果了。
出处：微信公众号 "我是8位的"
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