双色球的概率和收益
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我买双色球已经好多年了，一直相信“只要集齐七个球，就能大富大贵”，但这么多年过去了，愿望依旧没有达成。最近一期的双球又一次白白捐献了2块钱。长期来看，到底是赔钱还赚钱？如果有一天赚钱了，能否抵得过我的投入？
双色球由红球和蓝球两部份组成，红球是由01到33个号码中选择，蓝球是由01到16个号码中选择。每次开奖在红色球中随机摇出六个红号,在蓝球中随机摇出一个蓝号，下面是中奖条件和奖金：
直观上，中5块看起来比较容易，只要蓝色球号猜中就行，但实际上概率仅有6.25%，至于一等奖就更困难了。
中奖的概率
先来复习一下不放回抽样。
引例：设一批产品共有N个，其中有M个次品。每次从这批产品中随机地抽出一件来检查，检查后不放回，共取n次(相当于一次同时取n件产品)，试求在n次检查中有k次是次品的概率Pk。
从N件产品中抽取n件共有
种不同的取法，现要求在抽取的一组n件产品中，有k件次品和n-k件合格品。因为这k件次品有
种不同的取法，n-k件合格品有
种不同的取法，因此最后的结果是：
现在来看双色球的中奖概率。
对于红球来说，开奖号码是排序的，既然中奖的规则只和彩票中是否有开奖号码有关，与彩票上的号码顺序无关，那么我们不妨让出票智能一点，打印出的彩票上的红球也是排好序的，这样一来，问题就转换成了和引例一样的不放回抽样：
接下来只要把相应的k代入①中即可，当然，还要乘以蓝球的相应概率：
大富大贵的概率约为0.0000056%，1700万分之一，500万。
二等奖是猜中6个红球，并且猜错蓝球：
二等奖的概率大约为0.0000846%，100万分之一，约20~35万。
三等奖是猜中5个红球和1和蓝球，K=5：
大约0.000914%的概率中三等奖，11万分之一，奖金是固定的，3000元。
类似地，可以算出四等奖和五等奖的中奖概率。
四等奖大约0.0434%，2300分之一，200元。
五等奖大约0.7758%，129分之一，10元。
六等奖1/16，5.889%，5元。
2019年江苏省高考报名合计48.4万人，考上清华北大的有151人，相当于在一万人中排名前三，3333人中排名第一才能考上清华北大，只比中200元的概率略高，比中3000元的概率高出10倍。有趣的是，绝大多数人都相信自己能人品爆发，中个大奖，再不济也能中几个3000元，却不相信自己能考上清华北大。当然，这种想法是有理由的，买彩票可以简单的凭概率计算，而高考除了运气外，天赋和努力程度才是决定性因素。
不管怎么说，数量庞大的彩民们勇往直前地奔着大奖而去，这其中的付出和收益又有着怎样的关系？
期望收益
双色球的概率告诉了我们中奖的可能性的大小，但是我更关注的是长期预测结果。虽然偶尔中个5块10块，但大多数时候都是颗粒无收，我想知道，在我有生之年中得的钱是否能够填平赔掉的钱？
概率问题总是很关心分布，我们已经有了各等奖的概率分布：
但是从上面的离散分布中看不出收益，于是我们对其进行改进，用随机变量X表示每注彩票的收益：
为了简单起见，二等奖按照30W奖金计算。每注彩票2元，如果中了六等奖，则收益是5-2=3元，也就是赚了3元；如果未中奖则相当于赔了2元。
为了计算长期收益，可以先计算出每注彩票的期望收益：
这对于像我这种天天想着中大奖的人来说可不是个好结果，每注彩票居然期望赔掉将0.98元！这当然不是我的期望，而是在统计学上的期望。
收益的变化幅度
每注彩票期望赔掉0.98元，我每年买365张，10年下来，居然告诉我期望赔掉，0.98×365×10=3577元！回想一下这些年的经历，除了偶尔中个5块10块之外，似乎只有一次中了200，当时被胜利冲昏了头脑，花了500多元和好友大吃了一顿，这么算来，赔掉的可不只3577元。
赔掉0.98元只是每注彩票的平均收益，但实际上每一次开奖都存在收益的变化，否则每次都赔钱的话还有谁会买彩票呢？
我们在前面的章节介绍过方差，作为衡量实际问题的数字特征，方差代表了问题的波动性。双色球收益的方差和标准差：
这里μ代表X的期望值。方差越小，结果的可预测性越高，每注彩票的平均收益越接近期望值。双色球的方差已经超过147万，这是个很大的波动，说明整体收益不可预期。标准差指明了每注彩票不可预测的收益与期望收益的平均距离。
从期望值上看，长期购买彩票是一种赔钱行为，但方差又告诉我们，一旦中了一等奖或二等奖，那么所有赔的钱都不算个事。
随机变量的线性变换
近几年物价飞涨，看起来双色球还是比较有良心的，一直保持2元不变。但反过来看，2019年南京的房价已经超过每平米3.2W，500W扣掉税之后也就勉强在南京这种新一线城市买个小户型。
双色球涨价了
现在双色球涨价了，4元一注，按照有关部门的一贯作风，中奖金额只提高了1.5倍，现在有了新的收益分布：
收益和投入资金都与原来存在线性关系，因此我们不想傻乎乎的根据期望值的公式去计算新收益的期望值。
随机变量Y是新收益，X是原收益，我们可以得到下面的关系：
这就把X和Y联系到了一起，由此计算涨价后的期望收益：
这下赔的更多了。如果接着买的话，未来十年的期望收益是 -2.47×356×10 = -9015.1元，想想经常寻找免费停车位的场景，9015.1元可不算小钱。
再来看方差，根据方差性质：
涨价后，每注彩票的收益更加不可预测，赔的和赚的都可能更多。
如果增加投入
还是按2元一注计算，如果我每天买10注怎么样？会不会更可能赢钱？
这就要看怎么买10注了。一种是买10注不同的，另一种是全压在相同的号码上。
先来看第一种。10注不同的号码最多只可能中一注，中奖概率提高到原来的10倍，每一次中奖收益也随之变化：
虽然随机变量U和X是线性关系，但是P(U=u)和P(X=x)不是线性的，其原因是二者未中奖的概率不相等，因此在求得新的期望收益时不能借助E[X]，只能重新计算：
期望收益和方差都变成了原来的10倍，这意味着从长期来看赔的更多，同时结果也更加不可预测。
再来看另一种，全压在相同的号码上。这里简单一点，把奖金简单地翻倍：
概率质量和单买一注是一致的，每一等奖项（包括未中奖）的收益都是原来的10倍，方差是100倍：
如此下注，虽然长期来看赔的更多，但是一旦中了500W就基本可以提前退休了。
出处：微信公众号 "我是8位的"
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