概率统计13——二项分布与多项分布
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伯努利分布
如果随机试验仅有两个可能的结果，那么这两个结果可以用0和1表示，此时随机变量X将是一个0/1的变量，其分布是单个二值随机变量的分布，称为伯努利分布。注意伯努利分布关注的是结果只有0和1，而不管观测条件是什么。
性质
设p是随机变量等于1的概率，伯努利分布有一些特殊的性质：
将上面的两个式子合并：
伯努利变量是离散型，并且是一个0/1变量，它的数学期望是：
方差是：
极大似然
对于伯努利分布的质量函数来说，p是唯一的参数。如果给定N个独立同分布的样本 {x(1), x(2), ……, x(N)}，x(t)是投硬币的结果，是随机变量，x(t)ϵ{0, 1}，可以通过极大似然估计，根据样本推测出p的取值：
取对数似然函数：
这是个符合直觉的结果，即使没学过概率和极大似然也能得出这个结论。
二项分布
假设某个试验是伯努利试验，成功概率用p表示，那么失败的概率为1-p。现在进行了N次这样的试验，成功了x次，失败了N-x次，发生这种情况的概率是多少？
质量函数
对于每次实验来说，成功的概率都是p，失败的概率是1-p。假设已经完成了N次试验，并且前x次都成功了，后N-x次都失败了：
x次成功的情况当然不止一种，比如成功和失败交叉在一起：
这种成功和失败的排列顺序共有
种不同的情况，因此对于任意N次伯努利试验，成功了x次的概率是：
的另一种记法是 
。
P(x)就是二项分布的质量函数，是N次伯努利试验中取得x次成功的概率。
性质
二项分布的均值和方差分别为Np和Np(1-p)。
从二项分布的质量函数P(x)可知，概率分布只与试验次数N和成功概率p有关，p越接近0.5，二项分布将越对称。保持二项分布试验的次数N不变，随着成功概率p逐渐接近0.5，二项分布逐渐对称，且近似于均值为Np、方差为Np(1-p)的正态分布：
多项分布
多项分布是二项分布的扩展，其中随机试验的结果不是两种状态，而是K种互斥的离散状态，每种状态出现的概率为pi，p1 + p1 + … + pK = 1，在这个前提下共进行了N次试验，用x1~xK表示每种状态出现次数，x1 + x2 + …+ xK = N，称X=(x1, x2, …, xK)服从多项分布，记作X~PN(N：p1, p2,…,pn)。
质量函数
如果说二项分布的典型案例是扔硬币，那么多项分布就是扔骰子。骰子有6个不同的点数，扔一次骰子，每个点数出现的概率（对应p1~p6）都是1/6。重复扔N次，6点出现x次的概率是：
这和二项分布的质量函数类似。现在将问题扩展一下，扔N次骰子，1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是多少？
仍然和二项式类似，假设前x1次都是1点，之后的x2次都是2点……最后x6次都是6点：
1~6出现次数分别是x1~x6的情况不止一种，1点出现x1次的情况有
种；在1点出现x1次的前提下，2点出现x2次的情况有
种；在1点出现x1次且2点出现x2次的前提下，3点出现x3的情况有
种……扔N次骰子，1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是：
根据①：
最终，扔骰子的概率质量函数是：
把这个结论推广到多项分布：某随机实验如果有K种可能的结果C1~CK，它们出现的概率是p1~pK。在N随机试验的结果中，分别将C1~CK的出现次数记为随机变量X1~XK，那么C1出现x1次、C2出现x2次……CK出现xK次这种事件发生的概率是：
其中x1 + x2 + …+ xK = N，p1 + p2 + …+ pK = 1。
极大似然
多项式的极大似然是指在随机变量X1=x1, X2=x2, ……, XK=xK时，最可能的p1~pK。
对数极大似然：
现在问题变成了求约束条件下的极值：
根据拉格朗日乘子法：
根据约束条件：
这也是个符合直觉的结论。面对有N个样本的K分类数据集，当pi = xi/N 时，Ci类最可能出现xi次。为了这个结论我们却大费周章，也许又有人因此而嘲笑概率简单了……
出处：微信公众号 "我是8位的"
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