整数的故事(1)

　　程序设计课程总是充满趣味，在学习了判断和循环后就可以编写一些有意思的代码。记得我在初学编程时，老师曾出过一个题目：找出两个整数的最大公约数。当时我在黑板上写下了自己的实现方式：

def gcd(a, b):
    if a == b:
        return a

    if a < b:
        a,b = b,a

    result = [i for i in range(1, b + 1) if a % i == 0 and b % i == 0]

    return  result.pop()

　　 运行结果是正确的，回到座位上，我为此高兴了两分钟。

　　后来老师写出了另一个实现：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

　　 我的第一反应是：“嗯？”

　　遗憾的是，我并没有对这段代码深究，只是简单的记住了这种方法，反正都交给计算机计算，何必在乎快慢呢？

　　后来学了数据结构，知道了用大O评估算法效率，我这才开始重新审视那段寻找最大公约数的代码——它实际上使用了传说中的“辗转相除”，要真正弄清楚来龙去脉，还要从整数说起……

整除和余数

　　我们都曾经用笨拙的声音从1数到10，这大概是人生中第一次接触数学。稍大一点后，懂得了零的概念，再后来知道了有负数存在……这些美好的记忆都有整数伴随在左右。随着年龄的增长和知识的提升，我们知道了更多关于整数的知识，这其中就包括整除和余数。

欧几里德算式

　　数学中是以数轴分段的方式定义整除的，如果n是一个正整数，那么可以用n的倍数将数轴分成很多段：

 

　　如果将一个整数m放在数轴上，那么m将正好位于qn和(q+1)n之间，其中q也是一个整数：

 

　　如果m正好是n的整数倍，那么m=qn，否则可以写成m=qn+r形式，qn是在m左侧最近的n的整数倍，r是qn到m的距离。如果把两种情况合并，那么m总是可以写成下面的形式：

 

　　对于特定的n来说，m的表达式唯一的，这种表达式叫做欧几里德算式，也叫做除法算式。

　　看着挺唬人，其实欧几里德算式有更常见的描述：如果m,n都是整数，并且n≠0，那么总是存在q和r，0≤r<|n|，使得m有唯一的表达式：

　　其中q是商，r是余数，如果r=0，则称m 能够被n整除，或n能整除m，记作n|m。看来欧几里德算式只不过是从代数上解释了什么是整除，什么是余数。

　　 示例   找出q和r

 　　

　　1和2比较简单：

 

　　3可能会出点差错：

 

　　计算机运行的结果：

　　看来计算机认为是另一种答案：

 

　　定义终于显现出作用了，在余数的定义中0≤r<|n|，r=-1不满足这个条件，所以正确答案是q=-3,r=4。

整除的性质

　　整除有一些被人们熟知的性质，如果a,b,c都是整数，则：

　　1. 如果a|b且a|c，则a|(b+c)

　　2. 如果a|b，则a|cb

　　3. 如果a|b且b|c，则a|c

　　由于0不能作为除数，所以a|b包含的默认条件是a≠0。

　　此外还有一个推论，如果a,b,c都是整数，当a|b且a|c时，对于任意整数m和n，都有a|(mb+nc)。

　　除法是乘法的逆运算，这些性质和推论其实都是根据乘法的分配律和结合律推导而来的。

素数

　　整数的故事中少不了素数，它的另一个名称是质数（prime number），是一种大于1整数。素数是这样定义的：设p是大于1的正整数，如果能整除p的正整数只有p和1，那么p就是一个素数。其中1比较特殊，它不是素数，是单位数。2,3,5,7,11是素数，4,6,8,10,12不是素数。

寻找素数

　　看起来判断一个整数是否是素数很简单，但这句话仅适用于较小的整数，稍大一点的整数就没那么容易判断了，1234567是否是素数？给你10秒钟时间。

　　这种复杂的问题还是交给计算机去处理：

# 判断a是否是素数
def is_prime(a):
    if a < 2:
        return False,a
    elif a == 2:
        return True,a

    # 用从 2 到 a-1 之间的每个数除以a，看看那个能被整除
    divisors = [x for x in range(2, a) if a % x == 0]

    return len(divisors) == 0,divisors 

print(is_prime(1234567))

　　is_prim返回一个包含两个元素的元组，第一个元素回答了a是否是素数，另一个回答了除了1和自身外，a还有哪些约数。

　　结果显示1234567是不一个素数，除了1和自身外，它还有127和9721两个因数。

寻找素数2.0版

　　is_prime方法能够正确运行，但仍然有改进的余地。根据欧几里德算式，m=qn，q和n二者此消彼长，它们的平衡点是根号m，这意味着只要判断2到根号m间是否存在能够被m整除的数就可以；此外，一个大于2偶数一定不是素数，所以只需要判断奇数即可。由此得到了判断素数的改进版：

import math

# 判断a是否是素数
def is_prime_2(a):
    if a < 2:
        return False
    elif a == 2:
        return True
    elif a % 2 == 0:
        return False

    result = True
    # 取 math.sqrt(a) 的整数部分
    end = int(math.sqrt(a))
    q = 3
    while(q <= end):
        if a % q == 0:
            result = False
            break
        q += 2

    return result

整数分解

　　我们知道多项式的因式分解，类似地，整数也可以分解，可以将一个正整数写成它的几个约数因子的乘积，这就是整数分解（integer divisorization）。

素因子表达式

　　大于1的整数分解可以更进一步，使每个因子都是素数。对于每一个大于1的正整数m来说，可以唯一地写成：

　　其中p_i是能整除m的素数因子，p₁<p₂<…<p_t；k_i是p_i出现的次数。这种表达式被称为整数m的素因子表达式，对于任意m，它的素因子表达式是独一无二的。将m写素因子表达式的过程叫做素因子分解。

　　素因子表达也从另一个层面（非素数的层面）定义了素数：如果一个大于1的整数m不是素数，那么m一定能够分解成2个或两个以上素数的乘积，并且这个表达式是唯一的。

 

　　示例  写出7、9、20、30的素因子表达式

　　7本身是一个素数，只能整数分解成1×7，但1并不是素数，所以7的素因子表达式就是7本身。

　　可以使用下面的代码进行整数的素因子分解：

# 获取a的所有除1和自身外的约数
def get_divisors(a):
    return [x for x in range(2, a) if a % x == 0]

# 素因子分解
def prim_division(a):
    if is_prime_2(a):
        return [a]

    result = []
    divisors = get_divisors(a)
    for divisor in divisors :
        while True:
            if a % divisor != 0:
                break
            if is_prime_2(divisor):
                result.append(divisor)
                a /= divisor
            else:
                break

    return result

 　　好了，我们已经知道整数可以素因子分解，但是这有什么用呢？

　　数学的发展来源于实践，不能用的东西大概也没人去研究。素因子分解的用处还挺多，它可以用来证明素数有无穷个，根号2是无理数，还可以用于密码学、计算复杂理论，甚至用于量子计算等等。接下来就举几个例子，看看素因子分解究竟是怎么使用的。

素数有无穷个吗？

　　老师：素数有无穷个吗？

　　同学：当然了！

　　老师：为什么呢？

　　同学：没有为什么啊，它当然是无穷的，这还要正明吗？随便给出一个素数，不是很容易的例举出比它更大的素数吗？

　　老师：但是素数没什么先验的理由必须有无穷多个啊。如果写出一个相当长的，能够绕地球一圈的素数，你能保证一定有一个更大的素数吗？

　　同学：……

　　老师：其实你已经回答了，随便给出一个素数，确实能够例举出比它更大的素数，只不过我们需要使用反证法来证明。

　　假设素数的个数是有限的，那么这些素数都可以用集合的形式列举出来：

　　P就是集合中最大的素数。

　　根据整数的素因子分解，一个大于1的正整数可以分解成若干个素数的乘积，那么存在一个整数M，它等于Ω中所有元素的乘积加1：

　　M肯定比P更大，P已经被假定是最大的素数，所以M肯定不是素数。素因子表达式告诉我们，M如果不是素数，则一定能够分解成若干个素数的乘积，因为已经假设Ω中包含了所有的素数，所以M也一定能够分解成Ω中若干个元素的乘积。但是现在M除以Ω中的所有元素都会产生余数1，这意味着M只能被M或1整除，所以M也是一个素数，这与“M肯定不是素数”矛盾，因此“素数有无穷个”。

　　注：“素数有无穷个”这一命题最早的证明出现在古希腊数学家欧几里得 (Euclid) 的《几何原本》上，这一命题也因此被称为了 “欧几里得定理” (Euclid's theorem) 或 “欧几里得第二定理” (Euclid's second theorem)。

根号2为什么“无理”

　　老师：根号2是一个无理数，它无限不循环，没有尽头。

　　同学：为什么呢？也许它在绕地球一圈后循环了。

　　老师：它确实是不循环的，能试试自己证明吗？

　　同学：还是使用反证法吗？

　　老师：是的。证明的时候别忘了素因子分解。

　　假设根号2 是一个有理数，根据有理数的定义，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，这样一来，就可以得出：

　　其中a/b不能通分，也就是说a和b是互素的（a和b的公约数只有1）。

　　现在将等式两侧同时平方：

　　2b²肯定是偶数，所以a²也是偶数，如果a是奇数，则a²也是奇数，所以a只能是偶数，a一定可以素因子分解成：

　　将a²=2b²等式两侧同时除以2：

 

　　a²是偶数，a²/2还是偶数。a²/2= b²所以b²也是偶数，b仍然是偶数，b可以素因子分解成：

 

　　现在2|a并且2|b，这和a、b 互素矛盾，所以根号2是无理数。

 

　　待续

 

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 　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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