摘要：原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/PRQQvSfmipxPBeF80aEQ1A 一个矩阵有逆矩阵的前提是该矩阵是一个满秩的方阵。然而很多时候遇到的都是长方矩阵，长方矩阵是否有类似的逆矩阵呢？ 先把4个基本子空间的图贴上，A是m×n的矩阵，其中r是矩阵的秩： 两侧逆（2- 阅读全文

摘要：原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/TXbcQoXw2HGkP3tnvKEpMQ 基变换的一个重要应用是压缩，图像、视频、音频和其它一些数据都会因为基变换而得到更高效的压缩存储。线性变换可以脱离坐标系，而描述线性变换的矩阵却要依赖于坐标系，因此选择合适的基会更便于计算。 阅读全文

摘要：原文：https://mp.weixin.qq.com/s/qCmstZdzCy1WCfBAkEZEoA 线性变换这个词在线性代数中经常被提及，每个线性变换的背后都有一个矩阵。矩阵的概念比较直观，相比之下，线性变换就显得抽象了。 线性变换 抛开矩阵，我们从变换的角度讨论投影。通过T变换，使平面内的一 阅读全文

摘要：原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/HrN8vno4obF_ey0ifCEvQw 奇异值分解（Singular value decomposition）简称SVD，是将矩阵分解为特征值和特征向量的另一种方法。奇异值分解可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵相乘来 阅读全文

摘要：原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/TDj3aCEHjaKHATZ7uviQMA 长方矩阵与正定矩阵 我们之前一直在讨论方阵，但大量的实际问题应用到了长方矩阵，比如在最小二乘中用到了ATA。 如果A是一个m×n的长方矩阵，那么ATA是一个对称矩阵，当然也是方阵，我们感兴趣 阅读全文

摘要：原文链接 | https://mp.weixin.qq.com/s/wX6wmVSqJUTgbmk8Z1r2_w 判断正定矩阵 给出一个矩阵： 有4个途径可以判定该矩阵是否是正定矩阵（注意这个矩阵的4个元素中有2个b，这是因为正定矩阵是对称矩阵，如果A的次对角线的元素不相等，A就不是对称的，也就没有 阅读全文

摘要：原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/YzPoPnRb-gEm_EiV9et0TA 实矩阵也可能碰到复特征值，因此无可避免地在矩阵运算中碰到复数。 矩阵当然也有可能包含复数，最重要的复矩阵是傅立叶矩阵，它用于傅立叶变换。一种特殊的傅立叶变换是快速傅立叶变换（fast Fou 阅读全文

摘要：原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/zdQttJfuubyztiVplScbwA 对称矩阵 对称矩阵是最重要的矩阵之一，对于对称矩阵来说，A=AT。矩阵的特殊性也表现在特征值和特征向量上，比如马尔可夫矩阵的有一个值为1的特征值，对称矩阵的特征值又有哪些特性呢？ 本文的相关 阅读全文

摘要：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。 构建傅立叶级数的基础 如果有一组n维空间的标准正交基向量q1,q2,…,qn，则n维空间内的任意向量v都可以用这组基的线性组 阅读全文

摘要：AT的特征值 矩阵A的特征值和AT的特征值是一样的。 求解特征值的方法是det(A-λI) = 0，根据行列式的性质，矩阵的行列式等于矩阵转置的行列式，因此： 因此λ也是AT的特征值。 马尔可夫矩阵 矩阵A有2个特点：A中的所有元素都是非负的；A中的每一列之和都等于1。形如A的矩阵称为马尔可夫矩阵。 阅读全文

摘要：原文：https://mp.weixin.qq.com/s/COpYKxQDMhqJRuMK2raMKQ 微分方程指含有未知函数及其导数的关系式，解微分方程就是找出未知函数。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程。常微分方程有时也简称方程。微分方程是一门复杂的学科， 阅读全文

摘要：特征值矩阵 假设A有n个线性无关的特征向量x1,x2……xn，这些特征向量按列组成矩阵S，S称为特征向量矩阵。来看一下A乘以S会得到什么： 最终得到了S和一个以特征值为对角线的对角矩阵的乘积，这个对角矩阵就是特征值矩阵，用Λ表示： 没有人关心线性相关的特征向量，上式有意义的前提是S由n个线性无关的特 阅读全文

摘要：特征向量 函数通常作用在数字上，比如函数f作用在x上，结果得到了f(x)。在线性代数中，我们将x扩展到多维，对于Ax来说，矩阵A的作用就像一个函数，输入一个向量x，通过A的作用，得到向量Ax。对多数向量x而言，经过Ax的转换后将得到不同方向的向量，但总有一些特殊的向量，它的方向和Ax方向相同，即Ax 阅读全文

摘要：伴随矩阵 对于2×2矩阵来说，它的逆矩阵公式： 对于更高阶矩阵，我们也希望使用类似的公式。从2×2的逆矩阵公式可以看出，它的逆矩阵由两部分组成，其一是行列式的倒数，这意味着矩阵可逆的前提是行列式不为0，问题是另一部分是什么？ 仔细观察，发现它和代数余子式有一定的关系，对于A来说： a的代数余子式： 阅读全文

摘要：行列式 如果有两个向量<a1, a2>和<b1, b2>，那么这两个向量组成的行列式是： 看起来只是表示一个简单的计算，仅仅计算了一个数值，但是别忘了，行列式是由向量组成的，它一定会表示向量间的某种关系。 在《线性代数笔记4——向量3（叉积）》中我们看到，二阶行列式表示了二维平面中以两个向量为临边的 阅读全文

摘要：标准正交矩阵 标准正交向量 有一堆向量，q1,q2……qn，它们两两正交，这意味着这些向量满足： 一个向量没法和自己正交，在i = j时，让qiTqi = 1，这相当于qi模长等于1： 向量的转置乘以自身等于1，意味着这个向量是单位向量，所以我们称这堆向量q1,q2……qn是标准正交向量。 标准正交 阅读全文

摘要：一维空间的投影矩阵 先来看一维空间内向量的投影： 向量p是b在a上的投影，也称为b在a上的分量，可以用b乘以a方向的单位向量来计算，现在，我们打算尝试用更“贴近”线性代数的方式表达。 因为p趴在a上，所以p实际上是a的一个子空间，可以将它看作a放缩x倍，因此向量p可以用p = xa来表示，只要找出x 阅读全文

摘要：正交向量 正交是垂直的令一种说法，两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。 这可以用直角三角形的三边解释： 当x和y正交时，二者的点积是0，反过来也一样。这个结论在n维空间也适用，当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时： 如果x是零向量，xTy还是0，也意味着零向量和任意向量正交。 正交子空间 正 阅读全文

摘要：图也可以用矩阵来描述。这里的“图”不是picture，而是graph，是一种常用数据结构，离散数学中还专门有“图论”的研究 阅读全文

摘要：矩阵空间 矩阵空间是对向量空间的扩展，因为矩阵的本质是向量，所以与向量空间类似，也存在矩阵空间。 在向量空间中，任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的，所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间，在空间内的任意两个矩阵的加法和数乘也在该空间内。例如，M是所有3×3矩阵构成的空间，空间内的矩阵可以相加 阅读全文