异或运算的应用

异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示，

其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位，同值取0，异值取1。

它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。

异或的性质

1. 交换律：a ^ b = b ^ a
2. 结合律：a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c
3. d = a ^ b ^ c 可以推出 a = d ^ b ^ c
4. 自反性：a ^ b ^ a = b
5. x ^ x = 0, x ^ 0 = x

应用:

1.最早我们常见的就是交换两个数：

void exchange(int a, int b)  
{  
    a ^= b;  
    b ^= a;  
    a ^= b;  
}  

这里就用到了异或运算的自反性：

首先 a = a ^ b;

然后 b = a ^ b ^ b = a

然后 a = a ^ b ^ a = b

 

1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？

解法一：将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。

这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。
解法二：异或就没有这个问题，并且性能更好。将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

解法一很显然，解法二需要证明一下：

前面提到异或具有交换律和结合律，所以1^2^...^n^...^n^...^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。 其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。 所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。 令，1^2^...^n^..^1000（序列中包含一个n）的结果为T
则1^2^..^n^..^n^..^1000（序列中包含2个n）的结果就是T^n。
T^(T^n)=n。
所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

 

一个数组存放若干整数，一个数出现奇数次，其余数均出现偶数次，找出这个出现奇数次的数？

这个其实是上一个题目的一个变形题目，最直接的办法还是和上面一样，就是把所有数异或 (奇数个异或是本身，偶数个是0)

使特定位的值取反 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s^mask)

比如s = 1111,1010, mask = 1000, s = (1111,1010) ^ (0000,1000) = 1111,0010.

根据规律 x ^ 0 = x, x ^ x = 0, 可以看出，在每一位的运算也是这个规律的 bit ^ bit = 0, bit ^ 0 = bit. 所以当需要把特定位的值取反，把mask中的特定位置１，其他位置０，即可.

一个32位整数任意两个比特位交换的宏定义写法 

#include <stdio.h>

#define bswap(data, m, n)    \
    (data & (1 << m)) == (data & (1 << n)) ? data : data ^ ((1 << m) | (1 << n))

void main(void)
{
    int data = 4;
    
    int m = 2, n = 3;

    //0000 0000 0000 0100
    //exchange bit2 and bit3
    //0000 0000 0000 1000
    //8
    
    printf("%d -> bswap(2, 3) -> %d\n", data, bswap(data, m, n));
}

首先看这个宏定义三目运算符号的后半部分：　data ^ ((1 << m) | (1 << n))

上面我们总结到把特定位置取反需要使用mask，在这里 ((1 << m) | (1 << n)) == mask，会有两个特定位置需要取反.假设m=4, n =2, mask = 1010, 第４位和第２位需要取反，其他位置保持不变，当data的第4位和第2位的值不同时，和mask进行^运算，正好这两位的值交换过来，比如

(0000,1000) ^ 1010 = 0000,0010. 但是若第4位和第2位的值相同时，则不能起到交换的效果，比如

(0000,1010) ^ 1010 = 0000,0000. 由或者是：

(0000,0000) ^ 1010 = 0000,1010. 所以当这两个比特位的值不相同时可以利用异或来进行比特位交换．当这两个比特位的值相同时，保持不变即可.

所以 由：

(data & (1 << m)) == (data & (1 << n)) ? data : data ^ ((1 << m) | (1 << n))