插值与拟合

1.插值　　-->求过已知有限个数据点的近似函数

　　1）拉格朗日多项式插值　　　　-->n个插值点不同时确定了一个唯一的n次多项式

　　　　构造n次拉格朗日插值多项式（不使用解方程n个约束来求解待定系数）

　　2）牛顿插值

　　　　使用差商概念来构造牛顿插值公式（计算量小，余项与拉格朗日余项相等），当节点之差为常数时，使用差分来代替差商构造牛顿向前插值公式

　　3）分段线性插值　　　　-->高次插值存在震荡缺陷，采用低次分段函数（线性函数）

　　　　y=interp1(x0,y0,x,'method')　　-->method可取nearest（最近项插值）、linear(线性)、spline（逐段三次样条插值）、cublic（保凹凸性3次插值）

　　4）Hermite插值　　　　-->插值函数不仅要求节点处与函数同值，同时要有相同一阶、二阶导数

　　5）样条插值　　　　-->对插值函数的光滑性要求较高（样条函数代替线性函数，一般采用二次、三次样条插值）

　　　　a.二次样条插值函数

　　　　　　两类问题：已知函数值与边界处导数值；已知节点导数值及边界点函数值

　　　　b.三次样条插值函数

　　　　　　三类问题：已知端点一阶导（完备三次样条插值函数）；端点二阶导已知；两端点一二阶导相等　　-->满足n+3个约束条件

　　　　　　pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)　　-->conds指定插值的边界条件：complete,not-a-knot(非扭结条件）、second、periodic、variational（设置边界的二阶导数值为0,0）

clc,clear
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x=0:0.1:15;
y1=lagrange(x0,y0,x);
y2=interp1(x0,y0,x);
y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0);
y4=ppval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second');
y5=ppval(pp2,x);
fprintf('比较一下不同茶之方法和边界条件的结果：\n')
fprintf('x     y1     y2     y3      y4      y5\n')
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
subplot(2,2,1),plot(x0,y0,'+',x,y1),title('Lagrange')
subplot(2,2,2),plot(x0,y0,'+',x,y2),title('Peicewise linear')
subplot(2,2,3),plot(x0,y0,'+',x,y3),title('Spline1')
subplot(2,2,4),plot(x0,y0,'+',x,y4),title('Spline2')
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))
ytemp=y3(131:151);
index=find(ytemp==min(ytemp));
xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0.0;
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:n
            if j~=k
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end

　　　　c.B样条函数插值方法　　　　-->对函数进行磨光处理（积分）构造出样条函数作为插值函数，既有较好的凹凸性，又有足够的光滑性

　　6)二维插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')　　　　pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})　　　　散乱节点（非有序）　　zi=griddata(x,y,z,xi,yi)

2.拟合　　-->求近似函数，某种意义下这些点上总偏差最小

　　1)线性最小二乘法　　　　-->将函数f(x)看为一系列线性无关的函数与待定系数的乘积之和

　　　　R为线性无关函数阵列，A为待定系数向量，Y为节点值向量，则A=(R'R)的逆*R'Y

　　　　a.函数的选取：作图直观的判断，常用的有:直线、多项式、双曲线、指数

clc,clear
x=[19,25,31,38,44]';
y=[19,32.3,49,73.3,97.8]';
r=[ones(5,1),x.^2];
ab=r\y
x0=19:0.1:44;
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

　　2）多项式拟合　　　　-->采用多项式拟合给定数据

　　　　a=polyfit(x0,y0,m)输出a为待定系数矩阵（由高次到低次排列）　　y=polyval(a,x)　　做散点图选择多项式的次数，

3.最小二乘优化问题　　　　-->在无约束最优化问题中，目标函数由若干个函数的平方和构成，求其极小值的问题为最小二乘优化问题

　　1)lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

　　2)lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)

clc,clear
t=[19,25,31,38,44];
c=[19,32.3,49,73.3,97.8];
x0=[0.2,0.2];
x=lsqcurvefit(@fun,x0,t,c);
x(1),x(2)
function f=fun(x,t);
f=x(1)+x(2)*t.^2;

　　3)lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)

　　4)lsqnonneg(c,d,x0,options)　　求解非负的x满足最小二乘函数

4.函数逼近　　-->给定一组离散数据选择一个较简单的f去接近这些数据成为曲线拟合　　给定一个复杂连续函数选择一个较简单的函数f去接近它成为函数逼近

　　最小平方逼近　　-->差值的平方的积分最小