HDOJ 1023 Train Problem II （卡塔兰数）
卡塔兰数
h( n ) = ( ( 4*n-2 )/( n+1 )*h( n-1 ) );
(位数很大，要用到大数乘法和除法）
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int wide=10000;//类似以10000为进制 int main() { int a[105][20]; memset(a,0,sizeof(a)); //必要 a[1][1]=1; for(int i=2;i<=100;i++) { int c=0; for(int j=1;j<20;j++) { int t=a[i-1][j]*(4*i-2)+c; a[i][j]=t%wide;// 只要结果不超过19位就不用考虑最高进位，否则加while(c){%.\.++}; c=t/wide; //（另外可以用a[i][0]存储长度） } //保留的是余数，进的是商 c=0; for(int j=19;j>=1;j--) { //除法与乘法刚好相反 int t=a[i][j]+c*wide;// 1.从最高位开始除；2.i余数乘进制 ii再除以除数 a[i][j]=t/(i+1); //保留的是商，进的是余数 c=t%(i+1); //不用考虑最低进位，虽然我也不懂为啥。 } } int n; while(cin>>n) { int flag=0; for(int i=19;i>0;i--) //逆向输出 { if(flag) //前面的0不用输出，出现的第一个数直接输出， printf("%04d",a[n][i]);//后面的数都要以进制位数输出 else if(a[n][i]!=0) //else if 的使用很巧妙 { printf("%d",a[n][i]); flag=1; } } /*if(a[n][0]!=0) printf("%04d",&a[n][0]); */ printf("\n"); } return 0; }
拓展：
卡塔兰数
卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰
卡塔兰数的一般项公式为
前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,
58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
性质
Cn的另一个表达形式为 所以，Cn是一个自然数；这一点
在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。
它也满足
//这个在本题中用来推导卡特兰数！
很重要的一个推导式！！
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡塔兰数的渐近增长为
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）
所有的奇卡塔兰数Cn都满足。所有其他的卡塔兰数都是偶数。
卡特兰数的应用：
出栈次序
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
常规分析
首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。
第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一
个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个
数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）
×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k
取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）
+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）
= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。
最后，令f（0）=1，f（1）=1。
非常规分析
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈
设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入
栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，
因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计
数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中
减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出
现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。
如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1
个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和
n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个
，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分
0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数
必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)
=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。
类似问题 买票找零
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人
只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有
5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
凸多边形三角划分
在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若
干个三角形。现在的任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。
比如当n=6时，f（6）=14。[6]
分析
如果纯粹从f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去归纳
，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规律。
因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为
基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶
点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点
的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形
划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形
（顶点数即是边数），另一个凸多边形
，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。
此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等
价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk
这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，
将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）
+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，
再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-1）
（n=2，3，4，……）。
最后，令f（2）=1，f（3）=1。
此处f（2）=1和f（3）=1的具体缘由须参考详尽的“卡特兰数”，也许可从
凸四边形f（4）=f（2）f（3）+ f（3）f（2）=2×f（2）f（3）倒推，四边形的
划分方案不用规律推导都可以知道是2，那么
2×f（2）f（3）=2，则f（2）f（3）=1，又f（2）和f（3）若存在的话一定是整数，
则f（2）=1，f（3）=1。
（因为我没研究过卡特兰数的由来，此处仅作刘抟羽的臆测）。
…………
2.在c以及c++中，EOF被定义成-1！
3.如何处理大数的乘除法！很妙的方法！参考代码！
代码如下：
//输出卡特兰数
//首先需要肯定，程序是正确的
//这算是大数乘除法！记住他们是如何处理的！由于数据很大，用基本数据类型根本无法满足要求，只能用数组来表示！
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<memory.h>
using namespace std;
#define MAX 101
#define BASE 10000//base只是一个基度，对最终取值并没有影响，相反，base取值愈大，计算量愈小
//base发生改变的时候，下面的输出也要相应地做出调整，否则也会输出错误答案！除非当base取10！
void multiply(int a[],int len,int b)//乘法
{
for(int i=len-1,carry=0;i>=0;--i)//从最后一位开始相乘,依次向前与每一位相乘
{//问题在于，为什么BASE=10000？
carry+=b*a[i];
a[i]=carry%BASE;
carry/=BASE;
//cout<<"carry="<<carry<<" "<<"a["<<i<<"]="<<a[i]<<endl;//以4个0为一组
}
}
void divide(int a[],int len,int b)//除法，很妙的！这种除法可能想不到，仔细体会！
{//应当如何除呢？
for(int i=0,div=0;i<len;++i)//从高位除起
{
div=div*BASE+a[i];
a[i]=div/b;//b为除数
div%=b;
}
}
int main()
{
int i,j,h[101][MAX];
memset(h[1],0,MAX*sizeof(int));//赋值，每一个都置为0
for(i=2,h[1][MAX-1]=1;i<=100;++i)//运用递归，并且h[1]=1;
{
memcpy(h[i],h[i-1],MAX*sizeof(int));//h[i]=h[i-1];按字节拷贝，保证了h[i]和h[i-1]指向数组的一致性
multiply(h[i],MAX,4*i-2);//h[i]*=(4*i-2);
divide(h[i],MAX,i+1);//h[i]/=(i+1);
}//递归得到前100项的卡特兰数！
while(cin>>i && i>=1 && i<=100)//输入i的值
{
// for(i=1;i<=100;i++)
// {
for(j=0;j<MAX && h[i][j]==0;++j);//从0位开始搜索，找到不为0的第一个数
//printf("%d\n",EOF);在c语言中，EOF=-1；
printf("%d",h[i][j++]);//像是这个输出，就很妙了，第一位可能不足四位，就地输出！
for(;j<MAX;++j)
{
// if(h[i][j]==0)
printf("%04d",h[i][j]);//处在中间的值也可能没有四位，这时候要注意了，往左边加0，凑足4位，不然答案会出错！
// else
// printf("%d",h[i][j]);//不断输出值
}
printf("\n");
}
system("pause");
return 0;
}
//ｈ( n ) = ( ( 4*n-2 )/( n+1 )*h( n-1 ) );
//*******************************
//打表卡特兰数
//第 n个 卡特兰数存在a[n]中，a[n][0]表示长度；
//注意数是倒着存的，个位是 a[n][1] 输出时注意倒过来。
//*********************************
#include<stdio.h>
int a[105][100];
void ktl()
{
int i,j,yu,len;
a[2][0]=1;
a[2][1]=2;
a[1][0]=1;
a[1][1]=1;
len=1;
for(i=3;i<101;i++)
{
yu=0;
for(j=1;j<=len;j++)
{
int t=(a[i-1][j])*(4*i-2)+yu;
yu=t/10;
a[i][j]=t%10;
}
while(yu)
{
a[i][++len]=yu%10;
yu/=10;
}
for(j=len;j>=1;j--)
{
int t=a[i][j]+yu*10;
a[i][j]=t/(i+1);
yu = t%(i+1);
}
while(!a[i][len])
{
len--;
}
a[i][0]=len;
}
}
int main()
{
ktl();
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=a[n][0];i>0;i--)
{
printf("%d",a[n][i]);
}
puts("");
}
return 0;
}
