线性相关和生成子空间
1.线性组合(linear combination)
如果 x 和y 都是某方程组的解,则z = αx + (1 − α)y (其中 α 取任意实数)也是该方程组的解。
为了分析方程有多少个解,我们可以将 A 的列向量看作是从原点(origin)(元素都是零的向量)出发的不同方向,确定有多少种方法可以到达向量 b。
在这个观点下,向量 x 中的每个元素表示我们应该沿着这些方向走多远,即 x i 表示我们需要沿着第 i 个向量的方向走多远:
这种操作被称为线性组合 。
形式上,一组向量的线性组合,是指每个向量乘以对应标量系数之后的和,即:
一组向量的生成子空间(span)是原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。
确定 Ax = b 是否有解相当于确定向量 b 是否在 A 列向量的生成子空间中。这个特殊的生成子空间被称为 A 的列空间(column space)或者 A 的值域(range)。
不等式 n ≥ m 仅是方程对每一点都有解的必要条件。
线性相关(linear dependence)
列向量可能是冗余的,即一组向量中有一部分向量是相同的。
线性无关(linearly independent)
如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合,那么这组向量被称为线性无关。
矩阵必须是一个方阵(square),即 m = n,并且所有列向量都是线性无关的是矩阵有逆矩阵的充分必要条件。
一个列向量线性相关的方阵被称为奇异的(singular)。