一文详解编辑距离（Levenshtein Distance）
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一. 什么是Levenshtein Distance
Levenshtein Distance，一般称为编辑距离（Edit Distance，Levenshtein Distance只是编辑距离的其中一种）或者莱文斯坦距离，算法概念是俄罗斯科学家弗拉基米尔·莱文斯坦（Levenshtein · Vladimir I）在1965年提出。此算法的概念很简单：Levenshtein Distance指两个字串之间，由一个转换成另一个所需的最少编辑操作次数，允许的编辑操作包括：
- 将其中一个字符替换成另一个字符（
Substitutions）。 - 插入一个字符（
Insertions）。 - 删除一个字符（
Deletions）。
二. 解题思路
假如，我们定义个方法，入参为两个字符串，返回两个字符串的编辑距离：
public static int editDistance(String a,String b)
假设我们有“kitte”、“Sitti”两个字符串，我们暂且将这两个字符串成为”A“和”B“，我们的编辑操作大致可分为三种类型：
- 选择一：将B字符串最后一个字符替换，使得两个字符串相等
因为这个操作使得最后一个字符相等，那么我们只需要继续计算minDistance(A[i-1],B[j-1])的编辑距离即可（A[i-1]，其中i代表A字符串的长度，A[i-1]表示A字符串（0~length-1）的子串）
- 选择二：将B字符串增加一个字符，使得两个字符串最后一个字符相等：
这样我们只需要继续计算minDisnace(A[i-1]，B[j])的编辑距离即可
- 选择三：将B字符串最后一个字符删除
实际上，删除B字符串的最后一个字符与在A字符串添加一个字符是等价的：
因为他们的编辑过程都为1，最后都需要继续计算minDistance(A[i],B[j-1])的编辑距离。
需要注意的是，大家不要站在上帝视角认为此种情况下选择第一种方式，将最后一个字符替换即是最优解。因为小范围的最佳解，并不一定是大范围的最佳解，我们只有枚举出所有可能的情况才能得出最小的编辑距离。
综上所述，我们可以得出编辑距离算法的状态转移方程：
三. 动态规划
了解动态规划的同学应该都知道DP算法，需要借助DP数组去完成，但是DP数组的初始化会困扰很多同学，这里我可以给大家提供一个技巧，对于DP数组需要初始化哪些数据，我们可以观察状态转移方程依赖与哪些状态，以上面的例子来说：
lev(i,j)需要依赖于lev(i-1,j)、lev(i,j-1)、lev(i-1,j-1)三种状态：
这样我们就需要把这个二维数组蓝色部分初始化好后，才能根据初始化好的数组，将整个二维数组填满，当填满的那一刻，我们的最优解也就达到了。
至于计算的路径，我们从初始化好的状态以及依赖态的位置，我们可以得出两种计算路径：
这里就是我对动态规划DP数组的初始化以及计算路径的明确技巧。
可以使用动态规划的方法去测量DP的值，步骤大致如下：
- 初始化一个
DP矩阵(M,N)，M和N分别是两个输入字符串的长度。 - 矩阵可以从左上角到右下角进行填充，每个水平或垂直跳转分别对应于一个插入或一个删除。
- 通过定义每个操作的成本为1，如果两个字符串不匹配，则对角跳转的代价为1，否则为0，简单来说就是：
- 如果
[i][j]位置的两个字符串相等，则从[i][j]位置左加1，上加1，左上加0，然后从这三个数中取出最小的值填充到[i][j]。 - 如果
[i][j]位置的两个字符串不相等，则从[i][j]位置左、左上、上三个位置的值中取最小值，这个最小值加1（或者说这三个值都加1然后取最小值），然后填充到[i][j]。
- 如果
- 按照上面规则
LD矩阵(M,N)填充完毕后，最终矩阵右下角的数字就是两个字符串的LD值。
这里不打算证明上面动态规划的结论（也就是默认这个动态规划的结果是正确的），直接举两个例子说明这个问题：
- 例子一（两个等长字符串）：
son和sun。 - 例子二（两个非等长字符串）：
doge和dog。
例子一：
初始化LD矩阵(3,3)：
s | o | n | ||
|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | |
s | 1 | |||
u | 2 | |||
n | 3 |
计算[0][0]的位置的值，因为's' = 's'，所以[0][0]的值 = min(1+1, 1+1, 0+0) = 0。
s | o | n | ||
|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | |
s | 1 | 0 | ||
u | 2 | |||
n | 3 |
按照这个规则计算其他位置的值，填充完毕后的LD矩阵`如下：
s | o | n | ||
|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | |
s | 1 | 0 | 1 | 2 |
u | 2 | 1 | 1 | 2 |
n | 3 | 2 | 2 | 1 |
那么son和sun的LD值为1。
例子二：
初始化LD矩阵(4,3)：
d | o | g | ||
|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | |
d | 1 | |||
o | 2 | |||
g | 3 | |||
e | 4 |
接着填充矩阵：
d | o | g | ||
|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | |
d | 1 | 0 | 1 | 2 |
o | 2 | 1 | 0 | 1 |
g | 3 | 2 | 1 | 0 |
e | 4 | 3 | 2 | 1 |
那么doge和dog的LD值为1。
四. 代码实现
public static int minDistance(String word1, String word2) {
if (word1 == null || word2 == null) {
throw new RuntimeException("参数不能为空");
}
int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
//初始化DP数组
for (int i = 0; i <= word1.length(); i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int i = 0; i <= word2.length(); i++) {
dp[0][i] = i;
}
int cost;
for (int i = 1; i <= word1.length(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.length(); j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
cost = 0;
} else {
cost = 1;
}
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + cost);
}
}
return dp[word1.length()][word2.length()];
}
private static int min(int x, int y, int z) {
return Math.min(x, Math.min(y, z));
}
五. 编辑距离的应用
- 搜索建议：当我们Google搜索
Jave时，Google会智能的提醒我们是否在搜索Java - DNA分析
- 抄袭侦测
…
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