背包问题

讲动态规划必须谈到的背包问题，如果理解了此方法，那么对于同一类型的问题都可以用类似的方法来解决，学算法最重要的是学会举一反三。

背包问题分为01背包问题和完全背包问题，背包问题用知乎某答主的话讲就是：一个小偷背了一个背包潜进了金店，包就那么大，他如果保证他背出来所有物品加起来的价值最大。

01背包问题的描述：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量W分别是2,2,6,5,4，它们的价值P分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重J为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

 

要说明这个问题，要先了解一下背包问题的状态转换方程： f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] } （max的第一部分是 选择装i，因此去看剩下的最大价值 f[i-1,j-Wi]；第二部分是不装i，因此剩余重量还是j）

其中： 
f[i,j] 函数表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。 
Pi表示第i件物品的价值。

初学者最不懂的地方可能就是这个状态方程了，i是什么鬼，j又是什么鬼？下面具体来说这个状态方程怎么来的。 
之前说过动态规划是考虑递归的思想，要解决这个问题，首先想到解决其子问题。 

要从5个中选出若干个装入容量为10的背包，可以分解为：

1）将a物品装入背包，然后从其他四个中选出若干个装入剩余容量为8的袋子，因为a的重量是2，背包总共能承重10就要减去这2，剩余为8了；

2）或者不装a，从其他四个中选出若干个装入容量为10的袋子；

这两种做法中，价值最大的就是我们需要的方案。

如果选择了第一种方案，那么继续分解，将b物品装入袋子，从其余三个中选出若干个装入剩余容量为6的袋子，或者不装b，从剩余三个中选出若干个装入剩余容量为8的袋子，选择这两种方案中价值最大的。依次类推，直到五个物品都选择完毕。

将其一般化，用i代替a，用j代替10，用数学公式表达出来就是上面那个公式了，是不是觉得已经看懂了这个公式。 

上面公式中还有个( j >= Wi )，表示剩余的容量至少要大于该物品的重量，才需要讨论装不装的问题。

既然子问题已经解决，那么自然想到用递归了，我们用递归来实现

 

 

参考：

最详细动态规划解析——背包问题  推荐