浅谈 BFS 与 IDDFS
前记
为什么没有 \(\text{CSDN}\) 和博客园的同步输出了呢？因为博主懒得贴实践代码（实际上 \(6\) 种搜索的效率对比数据本人是有的），认为 \(\text{CSDN}\) 和博客园发博文不会得到什么欢迎，就在洛谷发一发吧。
引入
很多朋友都会在学 \(\text{IDDFS}\)（迭代加深搜索） 的时候问我：
- \(\text{IDDFS}\) 和 \(\text{BFS}\) 有啥区别？
诚然，它们有一定的相似，不可否认。
本质搜索方式
下面我们来剖析算法的原理。
\(\text{BFS}\) 的原理是把每一层逐层地往下搜。
而 \(\text{IDDFS}\) 也是这样，但它 规定搜的层数。
那你会说了：\(\text{IDDFS}\) 可能会重复搜一些状态啊！比方说，它限定层数为 \(d\)，从 \(1\) 搜到 \(d\) 会把第 \(1\) 层的状态来回的搜索。这样反而不如 \(\text{BFS}\) 单一地搜啊！
你说的很有道理，你掌握了 \(\text{IDDFS}\) 的精髓，可矛盾的是，为什么它总会比 \(\text{BFS}\) 快呢？
那是因为它还有一个黑科技！
回归各种搜索算法
在讲这个黑科技之前，我们按照一定的顺序捋一捋搜索的算法。
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深度优先搜索
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宽度优先搜索
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双向宽度优先搜索
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A*
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IDA*
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迭代加深搜索
前两种非常简单，无可厚非；而第三种 只是在第二种搜索的基础上进行双向搜索 而已。
那 \(\text{A*}\) 是啥呢？显然，它引入了一个 估价函数 的概念！即，对当前的状态进行一个估价，如果不如之前的状态就不搜了！
这是非常好的一个剪枝，但如果 估价函数 写错，整个程序可能都错了。\(\text{A*}\) 是建立在 深度优先搜索 基础之上的。
而 \(\text{IDA*}\) 同样用来估价函数，它是建立在 宽度优先搜索 上的。
迭代加深搜索就是今天的 \(\text{IDDFS}\) 了，它会 依次规定层数，并往下进行搜索，是建立在 深度优先搜索 和 \(\text{A*}\) 之上的。
实际上，上面的六种搜索已经按照时间效率从低到高排好序。\(\text{BFS}\) 与 \(\text{IDDFS}\) 的效率为何相差这么大呢？同样都是按层搜索啊！
理论剖析
首先，我们知道 \(\text{BFS} = \text{Breadth-First Search}\)，那么 \(\text{IDDFS} = \text{Iterative Deepening Depth-First Search}\)，这个单词翻译过来的意思就是 迭代深化深度优先搜索，很长。
它以 \(\text{DFS}\) 为基础，所以是 深度优先搜索，那么“迭代深化”是什么意思呢？通过百度百科可以得到：
迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果。
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。
这说明什么呢？
说明迭代与 \(\text{DFS}\) 是很相似的过程。我们可以认为 \(\text{IDDFS}\) 将 \(\text{DFS}\) 的“迭代过程” 与 \(\text{BFS}\) 的“加深过程”进行了综合。
原理上，\(\text{DFS}\) 会把以 \(u\) 为根的 搜索树的状态全部搜完，才会进行对 \(u\) 的回溯。而 \(\text{BFS}\) 会把以 \(u\) 为根拓展的节点搜出来，一层层的进行状态搜索。实际上又回归到了树的两种核心遍历：\(\text{DFS}\) 和 \(\text{BFS}\).
如何把这两种算法进行糅合？我们考虑按照 \(\text{BFS}\) 的方式，规定当前搜的层数 \(d\)，从小到大搜。对于每个 \(d\) 如何验证答案？此时要用 \(\text{DFS}\) 把 层数 \(d\) 以内的搜索树的状态搜完，有解则返回，无解则 \(d \gets d + 1\)，继续搜。
但是你会发现，验证答案的过程同样可以换成 \(\text{BFS}\)，那样“迭代加深”就失去了它的意义。此时经典的一步来了。我们考虑一个“估价函数”，因为有了 \(d\) 的限制，很多状态会被剪枝。
具体的，假设当前状态用了 \(g(x)\) 步，估价 \(h\) 认为 到达目标状态至少需要 \(h(x)\) 步，总共的搜索步数不能超过 \(f(x)\) 步，此时 \(f(x) = d\)，那么应满足 \(g(x) + h(x) \leq f(x)\)，否则我们可以剪枝。
这样的话，\(\text{BFS}\) 会把逐层状态搜完，而 \(\text{IDDFS}\) 有了估价函数的黑科技，就可以只搜部分的状态，并且对于当前状态有效的剪枝。
简单比对
那么你会问了，\(\text{IDDFS}\) 的验证过程可不可以换成 \(\text{BFS}\) 和估价函数的实现呢？实际上是可以的。但是那样的话，\(\text{IDDFS}\) 和 \(\text{IDA*}\) 将会非常相似，失去了“加深”的意义。实际上“迭代”是 \(\text{BFS}\) 的思想，“加深”是 \(\text{DFS}\) 的思想。这样可以使得 \(\text{IDDFS}\) 在搜索算法中效率到达顶峰。
简单的说吧，就 \(4 \times 4\) 的数独搜索题，前 \(4\) 种搜索都 很难通过，只有用 \(\text{IDA*}\) 和 \(\text{IDDFS}\) 才可以。实际上搜索的优化不是一戳而就的。
搜索历史
首先有了最简单的 \(\text{DFS}\)，然后人们逐渐发现有些题目层数是较小的，但是深度很大，加上树的搜索基础，\(\text{BFS}\) 就应运而生。
接着人们发现 \(\text{BFS}\) 也不够快，于是考虑一个“起点和终点同时出发”的算法，并把 \(\text{BFS}\) 的时间复杂度降到了 \(\sqrt{}\) 级别，使得双向搜索被广泛应用。实际上 双向搜索在背包问题中对 \(n \leq 40\)，\(v_i , w_i \leq 10^9\) 也有应用。
人们在对双向搜索的调试过程中，发现有的时候 程序会明显向更劣的状态进行搜索，于是 估价函数 应运而生，这样出现了 \(\text{A*}\)，与双向搜索的效率不相上下，但 \(\text{A*}\) 总体效率较高。
再后，人们又发现在 \(\text{A*}\) 的过程中可以规定深度，这样有了 \(\text{IDA*}\)，通过实践和理论证明也证明了 \(\text{IDA*}\) 比 \(\text{A*}\) 要优。
最后，人们把 \(\text{IDA*}\) ，\(\text{DFS}\) 与 \(\text{BFS}\) 结合，出现了 \(\text{IDDFS}\)，把搜索的效率推到了顶峰。在数独方面，\(\text{IDDFS}\) 的搜索效率极高。（实际上 \(\text{Dancing Links}\) 的效率应当更高些，它的时间复杂度是稳的）
后记
因此 \(\text{IDDFS}\) 与 \(\text{BFS}\) 大家应该都明白了吧！一切安好。
