P8255 [NOI Online 2022 普及组] 数学游戏（民间数据） 题解

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简要题意：

给定 \(T\) 组 \(x,z\)，求 \(\min{y} \space s.t. \space \space x \cdot y \cdot \gcd(x,y) = z\). 可能不存在。

\(T \leq 5 \times 10^5, x \leq 10^9, z < 2^{63}\).

很容易想到从质因数分解的角度入手。

\[\begin{aligned} &xy\gcd(x,y) = z \\ &y\gcd(x,y) = \frac{z}{x} \\ \end{aligned}\]

不妨令对于某个素数 \(p\)，\(x\) 含 \(a\) 个，\(y\) 含 \(b\) 个，\(\frac{z}{x}\) 含 \(c\) 个。我们试图已知 \(a,c\) 判断 \(b\). 那么：

\[\begin{aligned} &b + \min(a,b) = c \end{aligned}\]

分类讨论。

对于 \(c > 2a\) 的情况，此时必有 \(b > a\)，即 \(b = c - a\).

对于 \(c \leq 2a\) 的情况，此时必有 \(b < a\)，即 \(b = \frac{c}{2}\)，但存在的条件是 \(c\) 为奇数。

到这里，我们暴力去模拟它，就可以得到一个 \(\mathcal{O}(T\sqrt{z})\) 的做法。但显然这是不优的。

如何快速判断是否存在？可以考虑取 \(r = \min(2a,c)\). 对于 \(c>2a\)，一定存在，对应 \(r\) 一定为偶数；对于 \(c \leq 2a\)，\(c\) 为偶数时存在，同样对应 \(r\) 为偶数。

也就是说，对于某个素数 \(p\)，\(r = \min(2a,c) \equiv 0 \pmod 2\) 则在该素数上存在。

我们再从素因数倒推回去。取所有 \(p^r\) 的乘积，得到的结果就是 \(q = \gcd(x^2, \frac{z}{x})\). 而所有素数的指数为偶数则对应了 \(q\) 为完全平方数。

于是我们已经可以在 \(\mathcal{O}(\log z)\) 的时间内判断无解。

剩下来就很好办了。

\(r = \min(2a, c) = 2a\) 时 \(b = c-a\).

\(r = \min(2a, c) = c\) 时 \(b = \frac{c}{2}\).

考虑用一个式子直接表示 \(b\) 的值。很容易想到：

\[b = c - \frac{\min(2a, c)}{2} \]

这个式子就是本题的真谛所在。由于 \(q\) 是完全平方数，那么此时 \(b\) 一定存在。而将所有 \(p^b\) 乘起来，就是题目所求的答案，整理化简之后也就是

\[y = \frac{\frac{z}{x}}{\sqrt{\gcd(x^2, z)}} \]

时间复杂度：\(\mathcal{O}(T\log z)\).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main() {
	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		ll x, z; scanf("%lld %lld",&x,&z);
		if(z % x) {puts("-1"); continue;}
		z /= x;
		ll p = __gcd(x * x, z);
		ll q = sqrt(p);
		if(q * q == p) printf("%lld\n", z / q);
		else puts("-1");
	}
}