P8109 [Cnoi2021]幻想乡程序设计大赛 题解

原题链接

简要题意：

给定两个有序数列 \(\{a_n\} \space \{b_n\}\). 对于所有排列 \(p_i\)，求 \(\sum_{i = 1}^n \min(a_i , b_{p_i})\) 的最大值。

另一种解释方式：给定两个有序数列 \(\{a_n\} \space \{b_n\}\). 求一种 \(a \rightarrow b\) 的映射，使得每组映射的最小值的和最大。求这个最大值。

\(n \leq 10^5\).

贪心经典题。

我们可以想到一种显然的匹配方式：即 \(p_i = i\)，保持原排序结果不变。那么这样是否最优呢？我们可以做一个简单的证明。

只要从小数据出发。考虑对于 \(a_i < a_j\) 和 \(b_i < b_j\)，这四个数如何匹配？

两种方式：\(\min(a_i , b_i) + \min(a_j , b_j)\)，或者 \(\min(a_i , b_j) + \min(a_j , b_i)\). 记前者为 \(S\)，后者为 \(T\).

我们试图证明总有 \(S \geq T\).

如果 \(a_i < a_j < b_i < b_j\)，则 \(S = a_i + a_j , T = a_i + a_j\)，有 \(S = T\).

如果 \(a_i < b_i < a_j < b_j\)，则 \(S = a_i + a_j , T = a_i + b_i\)，有 \(S > T\).

如果 \(b_i < a_i < a_j < b_j\)，则 \(S = b_i + a_j , T = b_i + a_i\)，有 \(S > T\).

如果 \(a_i < b_i < b_j < a_j\)，则 \(S = a_i + b_j , T = a_i + b_i\)，有 \(S > T\).

如果 \(b_i < a_i < b_j < a_j\)，则 \(S = b_i + b_j , T = b_i + a_i\)，有 \(S > T\).

如果 \(b_i < b_j < a_i < a_j\)，则 \(S = b_i + b_j , T = b_i + b_j\)，有 \(S = T\).

当然如果存在等号，那么和小于号可以一样得出结论。

最后我们就得到了 \(S \geq T\). 那么也就是说：

对于任意的 \(i < j\)，必有 \((a_i , b_i)(a_j , b_j)\) 的匹配方式比 \((a_i , b_j)(a_j , b_i)\) 不劣。

所以我们只需要把 \(a,b\) 从小到大排序，然后让 \(p_i = i\)，扫一遍即可。

而注意到原题已经帮我们排好序了（其实这也是一点有力的暗示），那么我们直接扫一遍就行了。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n + m)\).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 1;

int Ans = 0, a[N];

int main() {
	int n; scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",a + i);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int x; scanf("%d",&x);
		Ans += min(x , a[i]);
	}
	printf("%d\n",Ans);
}