P3389 【模板】高斯消元法 题解

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简要题意：

给定一个由 \(n\) 个方程组成的 \(n\) 元方程组。若有唯一解则输出，否则输出 No Solution.

前置知识：线性代数相关知识。

很明显，这是线性代数中求解 \(Ax = B\) 的模板题。

考虑实现标准做法，即把 \(A \space | \space B\) 化为上三角的形式。

因为唯一解必须是 \(r(A) = r(A \space | \space B) = n\)，因此直接利用上三角形式 \(A_{n,n}\) 是否为 \(0\) 就可以判断。为 \(0\)，则有无穷解（因为至少最后一行全为零，即有一个基础解系）；不为 \(0\)，则必有唯一解。

于是对于化为上三角形式的矩阵，一波代入即可。

对于每一行，我们都要先除掉一个系数，然后把按照下面每一行对应列的系数消掉该元。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^3)\).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e2 + 1;
#define db double

db A[N][N],B[N],x[N];
int n;

int main() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++)
			cin >> A[i][j];
		cin >> B[i];	
	}
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int f = 0;
		for(int j = i; j <= n; j++)
			if(A[i][j]) {f = j; break;}
		if(!f) continue;
		for(int j = i + 1; j <= n; j++) A[f][j] /= A[f][i];
		B[f] /= A[f][i]; A[f][i] = 1;
		for(int j = f + 1; j <= n; j++) {
			for(int k = i + 1; k <= n; k++) A[j][k] -= A[f][k] * A[j][i];
			B[j] -= B[f] * A[j][i]; A[j][i] = 0;
		} 
	}
	if(!A[n][n]) return puts("No Solution"),0;
	x[n] = B[n] / A[n][n];
	for(int i = n - 1; i >= 1; i--) {
		db p = 0;
		for(int j = i + 1; j <= n; j++) p += A[i][j] * x[j];
		x[i] = B[i] - p;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cout << fixed << setprecision(2) << x[i] << endl;
	return 0;	
}