P7771 【模板】欧拉路径

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简要题意：

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，输出其字典序最小的欧拉路径。无解则输出 No.

\(n \leq 10^5 , m \leq 2 * 10^5\).

注：图中可能存在重边，自环。

欧拉路径，即无重复无遗漏地经过所有边的一条路径。

根据欧拉路径的定义，容易得到，如果一个有向图存在欧拉路径，则必须有：

• 要么每个点的入度都等于出度，此时起点终点任意；要么除了两个点外的点入度等于出度，这两个点必有一个出度比入度大一，为唯一起点；另一个入度比出度大一，为唯一终点。

于是我们可以成功判断无解情况，并对合法的情况，构造出起点和终点。

构造路径的方法不难。每次都走当前点未走过的一条字典序最小的边，这样答案一定是最优的。因为字典序的特点是，一步优则全局优。

注意到一个问题。我们可以对边进行排序（利用 vector 即可），然后按照顺序去走。同时用桶维护每个边是否被走过。

然而此时，其实，时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n + m^2)\).

因为每次到一个点，都会把先前已经走过的边再次走一遍。这显然，会被卡掉。比如一个很简单的例子，\(n = 10^5 , m = 2 * 10^5\)，其中有一半边是 \(1 \rightarrow 2\)，另一半是 \(2 \rightarrow 1\)，此时你就会因为扫边到 \(m^2\) 级别而导致超时。

而问题的解决也比较容易想。每次开一个数组 st，记录我们应该从第几条边开始，每走一条就更新一下，这样每条边就真正只会被扫描一次，而不是仅仅走一次、扫描多次。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n + m \log m)\).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e5+1;

int n,m,S,T,cnt=0;
int in[N],out[N],st[N]; 
vector<pair<int,int> > G[N];
stack<int> s;
bool h[N];

inline void dfs(int x) {
	for(int i=st[x];i<G[x].size();i=max(i+1,st[x])) {
		int y = G[x][i].first , z = G[x][i].second;
		if(h[z]) continue; h[z] = 1; st[x] = i + 1;
		dfs(y);
	} s.push(x);
}

int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	while(m--) {
		int u,v;
		scanf("%d %d",&u,&v);
		out[u]++; in[v]++;
		G[u].push_back(make_pair(v,++cnt));
	}
	int flag = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int p = in[i] - out[i];
		if(p) flag++;
		if(p == 1) S = i;
		if(p == -1) T = i;
	}
	if(flag && flag!=2) return puts("No"),0;
	if(flag == 0) S = T = 1;
	if(!S || !T) return puts("No"),0;
	for(int i=1;i<=n;i++) sort(G[i].begin(),G[i].end());
	dfs(T);
	while(!s.empty()) {
		printf("%d ",s.top());
		s.pop();
	}
	return 0;
}