积分入门笔记

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极限

引入极限

简单点就是趋近的数值。

比方说有 \(f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\)，如何知道 \(f(1)\) 的值？

显然我们不能直接求，于是可以换一种方法：

趋近法。

假设我们让 \(x\) 从小到大趋近 \(1\)，那么：

\(x\)	\(f(x)\)
\(0.5\)	\(1.5\)
\(0.9\)	\(1.9\)
\(0.99\)	\(1.99\)
\(0.999\)	\(1.999\)

可以知道 \(f(1)=2\) 的事实。但是我们不能说“当 \(x=1\) 时，\(f(x)=2\)”，因为 \(x\) 无法取到 \(1\).

于是我们可以这样说：

\[\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2 \]

不能说 \(x=1\) 是多少，我们应说“不管那个值具体是什么，\(x\) 趋近于 \(1\) 时答案就趋近于 \(2\)”，正确理解等于号的含义。

事实上我们犯了一个错误。求极限是不能只从一边的，因为有的时候两边趋近的答案不一样。

一般的极限不存在的，可见。

还有说明一个误区：哪怕那个点明确可以取到，只要符合极限的定义，就可以。你也可以说：

\[\lim \limits_{x \rightarrow 1} (x+1) = 2 \]

这没有任何问题。

无穷大

\(\infty\) 表示无穷大。但是我们需要注意一些事项。

无穷大

\(\frac{1}{\infty} = 0\)，这是对的吗？

这是错的。\(\infty\) 不是数，不可以参与运算，这是无意义的。

但是我们知道一个事实：

当 \(x\) 越来越大时，\(\frac{1}{x}\) 越来越趋近于 \(0\).

但是我们无法描述“越来越大”是趋近于多少，于是引进了 \(\infty\) 来表示。

因此：

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0 \]

一个特殊的公式

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \big(1+\frac{1}{x}\big)^x = e \]

求极限

一、代入法

很显然，对于一些函数是生效的，但是对于一大部分函数不生效。

二、因式分解法

\(\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} (x+1)\)

再用代入法可知为 \(2\).

判断函数趋近

考虑对于 \(f(x)\)，如何判断 \(x \rightarrow \infty\) 时，\(f(x)\) 趋近于 \(0,-\infty,\infty\)（也有可能是别的值）？

形如 \(\frac{1}{x}\) 的趋近于 \(0\)，很好判断。

剩下的，直接看最高次系数的正负。正则趋近无穷大，负则趋近负无穷大。

如果有分母，最高次次数一致时，把分子分母最高次的系数相除就可以，这个值就是函数的趋近值（\(x\) 无穷大时）。

因此：

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{4x^3 + 2x}{5-2x^3} = -2 \]

如果不一致，那么看系数相除的正负，同理判断趋近正（负）无穷大即可。

因此：

\[\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{4x^3 + 2x}{5-2x^2} = -\infty \]

其实原因很简单，\(x\) 趋近无穷时，因为系数是常数，最后整式的值一定是最高次项，所以仅考虑最高次项就可以判断函数的趋近值。

严格的证明

现在我们需要考虑，如何严格证明极限的大小？先前我们给出极限的定义并不官方，而多是口语化。大家理解了之后，我们来考虑真正的极限。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。——百度百科

假设我们现在想要描述：

• 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，\(f(x)\) 趋近于 \(L\).

考虑用作差法表示“趋近”的含义。也就是：

当 \(|x-a|<\delta\) 时，\(|f(x)-L| < \epsilon\)

严格表示趋近（极限）的方式：

对于任何 \(\delta > 0\)，有 \(\epsilon>0\)，从而使得当 \(|x-a|<\delta\) 时，\(|f(x)-L| < \epsilon\).

看起来很复杂，实际上核心就是那一句：

• 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，\(f(x)\) 趋近于 \(L\).

来个例题：证明 \(\lim \limits_{x \rightarrow 3} 2x=6\).

我们已知 \(|x-3| < \delta\).

可以得到 \(|2x-6|< 2 \delta\).

因此 \(\epsilon = 2 \delta\) 时成立，于是原式成立。

连续函数

一个函数在某点连续的判定是：

\[\lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]

于是 \(f(x)\) 在 \(c\) 点连续。

也就是说，出现断点、非连续（渐近线）都是非连续函数。

如果一个函数对于所有 \(c\) 都满足上述式子，则为连续函数。如：

而非连续函数的例子（不连续的）：

导数（微分）

导数可以被认为是函数一部分的“坡度”。

假设在某函数的某一部分 \(x\) 共增加 \(\triangle x\)，\(y\) 增加 \(\triangle y\)，于是该部分的导数为 \(\frac{\triangle x}{\triangle y}\). 根据这个定义还是比较好求的。用 \(\frac{d}{dx}\) 表示。

考虑一个问题：如何对函数上的某一个点求导？

\(\frac{0}{0} = ?\)

求导入门

假设对 \(f(x) = x^2\) 求导。考虑：

\[\frac{d}{dx} f(x) = \frac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x} \]

于是：

\[\frac{d}{dx} x^2 = \frac{(x + \triangle x)^2 - x^2}{\triangle x} = \frac{2x \triangle x - \triangle^2 x}{\triangle x} = 2x - \triangle x \]

你发现对于一个点，\(\triangle x =0\)，于是可得：

\[\frac{d}{dx} x^2 = 2x \]

同理我们计算 \(\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2\).

现在我们可以计算一些简单函数的导数啦！

求导进阶

现在考虑一个问题：一些函数的导数似乎不是很好求，计算相当繁琐。另外一些如：

\(\frac{d}{dx} \sin(x)\)？

就必须背公式了。

王牌公式：

常见函数	函数（\(f(x)=\)）	导数
常数	\(c\)	\(0\)
直线	\(ax\)	\(a\)
平方	\(x^2\)	\(2x\)
平方根	\(\sqrt{x}\)	\(\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\)
指数	\(e^x\)	\(e^x\)
指数	\(a^x\)	\(\operatorname{In}(a) a^x\)
对数	\(\log_a x\)	\(\frac{1}{x \operatorname{In}(a)}\)
对数	\(\operatorname{In}(x)\)	\(\frac{1}{x}\)
三角	\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)
三角	\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
三角	\(\tan(x)\)	\(\sec^2(x)\)

导数法则：

（用 \(f',g'\) 表示其导数）

法则	函数（\(f(x)=\)）	导数
乘以常数	\(cf\)	\(cf'\)
幂次法则	\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)
加（减）法法则	\(f \pm g\)	\(f' \pm g'\)
乘法法则	\(fg\)	\(fg'+f'g\)
除法法则	\(\frac{f}{g}\)	\(\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
倒数法则	\(\frac{1}{f}\)	\(\frac{-f'}{f^2}\)
链式法则	\(f 。g\)	\((f' 。g) g'\)

链式法则一会儿我们会单独讲。

只要熟练运用这些法则和（王牌）公式，求导数的题就不成问题了。

复合函数

这也就是上一个表格中的最后一条：链式法则适用的范围。

考虑 \(f(g(x))\)，这样的就叫复合函数。表示为 \(f。g\).注意是空心点，实心就成相乘了。

还要注意顺序。\(f(g(x)) \not = g(f(x))\)，易知。因此求导时一定要注意不要搞反，否则全错！

导数应用

说一个非常常见的应用吧，比如求二次函数极值。

你只需要求出导数为 \(0\) 的那个点，然后判断是极小还是极大就行了。

比方说求 \(y=-5x^2+14x+3\) 的极值，其导数为 \(-10x+4\).

因此极值横坐标为 \(1.4\)，坐标为 \((1.4,12.8)\)，不难理解。

但是有的时候你会发现这不对，比方说：

\(x=2\) 的时候导数可以为 \(0\)，但是这？不对吧？

因此这也是“二次导数”的运用了。一会儿讲。

另外有个注意事项：函数一定要是可微分的，像 \(y=|x|\) 就不行，下面也有介绍！

二次导数

二次导数就是对导数再求导数。不多说。

运用就是在你求出导数为 \(0\) 要判断其是否为极值点时，应求此横坐标对应二次导数的值。为正，则极小。为 \(0\) 么，就是上图的情况了。

可微分

一个函数可以被微分的前提是其有导数。

考虑 \(y=|x|\) 在 \(x=0\) 时是否有导数？从左右两边趋近：

\[\lim \limits_{x \rightarrow 0 +} = \frac{|0+h|-|0|}{h} = \frac{|h|}{h}=1 \]

\[\lim \limits_{x \rightarrow 0 -} = \frac{|0+h|-|0|}{h} = \frac{|h|}{h}=-1 \]

\(+\) 表示 \(x\) 为正，\(-\) 表示 \(x\) 为负。

你会发现两边趋近的答案不同，因此该点没有导数。

可以想象：对于任何一个函数，放大无穷倍后，会得到一条直线。

而 \(y=|x|\) 则仍然是折线。

但是我们可以定义一个范围使其可微分。比如：

\(f(x) = |x|\) 在域 \((0,\infty)\) 内可微分。（即 \(x>0\)）

这才引入了我们的中心：微积分。

积分

积分入门

求积分和求导数是相反的过程。我们知道 \(\frac{d}{dx} x^2 = 2x\)，因此 \(x^2\) 就是 \(2x\) 的积分！

这样子表示：

\[\int 2x \space dx = x^2 + C \]

\(C\) 称为积分常数。原因很简单：形如 \(x^2+C\)（\(C\) 为常数）都可以是 \(2x\) 的积分。

我们需要更好的理解积分。一个小小的例子：

假设现在有一个无限大的水箱，有一个水龙头在注入水。则：

1. 已知 \(x\) 时流速为 \(2x\)，则 \(x\) 时水的总体积为？
2. 已知 \(x\) 时水的总体积为 \(x^2\)，则 \(x\) 时流速为？

但是这种题目对于一个新手似乎并不是特别容易。你可以做如下错误的尝试（对于第一问）：

\[\sum\limits_{i(0 < i \leq n)} 2i = 2 \times \sum \limits_{i(0<i \leq n)} i \]

然后后面那个求和怎么求呢？根本求不出来吧。你硬说它是 \(\frac{n^2}{2}\) 未免太过偏见了。（平均为 \(\frac{n}{2}\)？）

其实可以用面积去理解：

\[\frac {x \times 2x}{2} = x^2 \]

当然不是所有的面积都是这样简单，那样就是积分了。第二问也大概。一个求导一个积分，重点掌握。

求导数是很简单的。但有时求积分会非常困难，逆过来的过程就不那么容易。比方说你随便拿两个 \(10^{30}\) 级别的大素数相乘，然后让别人分解质因数一样。

因此，我们首先需要：

积分进阶

老规矩。

王牌公式：

常见函数	函数	积分
常数	\(\int a \space dx\)	\(ax + C\)
变量	\(\int x \space dx\)	\(\frac{x^2}{2}+C\)
平方	\(\int x^2 \space dx\)	\(\frac{x^3}{3}+C\)
指数	\(\int x^n \space dx\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
倒数	\(\int \frac{1}{x} \space dx\)	\(\operatorname{In} \operatorname{abs}(x)+C\)
指数	\(\int e^x \space dx\)	\(e^x + C\)
指数	\(\int a^x \space dx\)	\(\frac{a^x}{\operatorname{In}(a)}+C\)
指数	\(\int \operatorname{In}(x) \space dx\)	\(x \operatorname{In} x - x + C\)
三角函数	\(\int \cos(x) \space dx\)	\(\sin(x)+C\)
三角函数	\(\int \sin(x) \space dx\)	\(-\cos(x)+C\)
三角函数	\(\int \sec^2(x) \space dx\)	\(\tan(x)+C\)

积分法则：

法则	函数	积分
乘以常数	\(\int cf(x) \space dx\)	\(c \int f(x) \space dx\)
幂次数法则（\(n \not=-1\)）	\(\int x^n \space dx\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
和（差）法则	\(\int (f \pm g) \space dx\)	\(\int f \space dx \pm \int g \space dx\)

积分再进阶

积分不是那么简单，于是我们再进阶。

现在我们补上两个法则：

乘法则

\(\int uv \space dx = u∫v \space dx −∫u' (∫v \space dx) \space dx\)

\(u'\) 表示 \(u\) 的积分。

注意选择 \(u,v\) 的时候一定要注意：

• \(u,v\) 的积分必须要好计算，否则会越来越复杂。
• \(u' (∫v \space dx)\) 是乘法，尽量是能消掉的那种，否则再次调用乘法则会繁琐（有时是不可避免的）。

定积分入门

积分用来表示曲线下方与 \(x\) 轴交出的面积 。而定积分指的就是确定区间 \([a,b]\) 的积分，表示为：

\[\int_a^b f(x) dx \]

个人来讲，表示 \(x=a,x=b\)，\(x\) 轴与 \(f(x)\) 上 \(x \in[a,b]\) 时 \(y\) 的曲线所构成。图：

而不定积分其实也就是不确定的，比如：

而定积分像是区间和，不定积分像是前缀和，因此可以计算定积分。比如 \(f(x)=2x\) 时：

\(\int_1^2 f(x) dx = (2^2+C) - (1^2+C) = 3\)

利用 \(2\) 点的积分减掉 \(1\) 点的积分即可。因此常数 \(C\) 通常不参与定积分运算。

再比如

\[\int_{30}^{60} \cos(x) dx = \sin(60)-\sin(30)=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \]

这些也都还算基础。来道有点小坑的：

\[\int_0^1 \sin(x) dx = -\cos(1) + \cos(0) \]

看起来是负数，但实际上 \(\cos(0) = 1\)，因此

\[\int_0^1 \sin(x) dx = 1 - \cos(1) \]

很小，但并非负数。

但也真的存在负数的情况，比方说搞到 \(x\) 轴下面：

\[\int_1^3 \cos(x) dx = \sin(3) - \sin(1) < 0$$（注意单位是弧度！！！） 于是注意到一个问题：你想求的并不是这玩意儿，我们要搞正经的面积。有一个办法： 考虑 $y = \cos(x)$ 与 $x$ 轴在 $y = \frac{\pi}{2}$ 相交。于是对 $[1,\frac{\pi}{2}]$ 计算积分，再对 $[\frac{\pi}{2},3]$ 计算积分，再把前者与后者的相反数相加即可得到答案。最后答案为正。这牵扯到定积分的一些性质。 #### 定积分的性质 $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_b^c f(x) dx (a \leq c \leq b)\]

\[\int_a^a f(x) dx = 0 \]

\[\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx \]

这也就是最基础的部分了。

好了，反正感觉高联上大学知识对于积分的要求也就这么多了吧。

如果以后上了大学可能会更。

\(\uparrow\) 扯。

微分方程

微分方程即存在至少 \(1\) 个导数的方程。

基础概念

• 阶数：即最高的导数阶数（一阶？二阶？）

• 次数：最高导数的指数。注意 “最高导数”，即使阶次低的导数指数更大我们也只计最高导数的指数。

• 常微分方程（ODE）：只有一个自变量。

• 偏微分方程（PDE）：有 \(\geq 2\) 个自变量。

比方说：

\[\frac{d^3y}{dx^3} + (\frac{dy}{dx})^2 + y = 5x^2 \]

就是一个 三阶一次常微分方程。

• 线性微分方程：变量（和其导数）没有指数或与其他函数相乘的微分方程。即不会有 \(x \sin(x) , dx \log_{10} x\) 这种东西出现。

解一阶线性微分方程

标准形式：

\[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \]

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一个小插曲。

是否记得解一元三次方程的时候，对于 \(x^3 + px + q = 0\)，有这样一种解法：

就是把 \(x = u + v\) 代入，得到一个关于 \(u,v\) 的式子。

由于 \(u,v\) 还可以再满足一个条件（而这个条件是否满足是要看 \(\triangle\)），于是我们直接搞掉了一个系数。

然后方程解完。

所以我们是否也可以对微分方程进行类似的操作？

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五步走。

1. 设 \(y = uv\)，由于导数法则，\(dy = u \space dv + v \space du\).

2. 将含 \(v\) 的部分因式分解

3. 设 \(v\) 的项为零，得到关于 \(u,x\) 的微分方程，并用分离变量法解 \(u\).

4. 带回第二步得到一个方程，同样解 \(v\).

5. \(y=uv\) 即可。

举一个例子。

\[\begin{aligned} & \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 1 \\ & 解：设 y = uv ，代入原方程，得到 \\ & u \space \frac{dv}{dx} + v \space \frac{du}{dx} - \frac{uv}{x} = 1 \\ & 即 \space u \space \frac{dv}{dx} + v \space (\frac{du}{dx} - \frac{u}{x}) = 1 \\ & 令 \frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = 0 \\ & 即 \space \frac{du}{u} = \frac{dx}{x} \\ & \int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \\ & \operatorname{In}(u) = \operatorname{In}(x) + C \\ & 令 \space C = \operatorname{In}(k)，则 \space u = kx \\ & 代回方程，可得 \\ & kx \frac{dv}{dx} = 1 \\ & \int k \space dv = \int \frac{dx}{x} \\ & kv = \operatorname{In}(x) + C \\ & 令 \space C = \operatorname{In}(c)，则 \\ & v = \frac{1}{k} \space \operatorname{In}(cx) \\ & 解得 \space y = uv = x \operatorname{In}(cx) \\ \end{aligned} \]

\(c\) 是一个常数，也就是说只要满足 \(y = x \operatorname{In}(cx)\) 的，都满足原方程，也就是其解。

然而有的时候分离常数法并不是那么靠谱。

求解微分方程

\[\frac{dy}{dx} + 2xy = -2x^3 \]

你还是按照上述方法一步步走，可以顺利地解出 \(u = \frac{e^{-x^2}}{k}\)，\(k\) 为常数。

然后解 \(v\) 的时候，你发现你要解一个积分：

\[\int -2k x^3 e^{x^2} dx \]

你就不得不动用积分的乘法则，然后你发现乘法则似乎特别适合这道题。

然后可以知道这个积分的结果是 \(ke^{x^2}(1-x^2) + D\)，\(D\) 为常数。

然后你就能解出

\[y = 1 - x^2 + ce^{-x^2} \]

一阶线性微分方程是不是很简单！！！