P3017 [USACO11MAR]Brownie Slicing G 题解

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这题做法还算比较明显，\(500\) 的数据范围也暗示了做法。

考虑直接二分所求答案，在 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的时间内进行验证。如何验证 \(x\) 的合法性？

可以逐行操作。比如先考虑把第一行分成 \(\geq x\) 的 \(b\) 块。如果不可以，那么就加上第二行再分，一直叠加直到可以分出这样的 \(b\) 块为止，假设叠加到了第 \(p\) 行，那么 \([1,p]\) 就作为横向切的第一刀（即切在 \(p\) 行处），然后再对 \(p+1\) 行进行同样的操作。最后判断能否切到 \(a\) 刀即可。这个过程做 \(n\) 次。

如何验证能否把若干行分成 \(\geq x\) 的 \(b\) 块？要求线性做法，你有可能会想到再次二分？那 \(2\) 个 \(\text{log}\) 当然也可以。但不如考虑直接 \(1 - n\) 枚举列的切法，维护二维前缀和，扫到当前和 \(\geq x\) 那么就清空和，扫到最后一列看有没有 \(b\) 块。这个过程也要做 \(n\) 次。

其实说白了，就是先操作列切，合法了再操作行切，行列枚举法。加上二分，复杂度没炸，这题就轻松过了。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^2 \log \sum a_{i,j})\).

注意：二分不知道怎么写 l<r 和 r=mid 的写法炸了，只能换了一种。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e2+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int r,c,a,b,s[N][N];

inline int Sum(int a,int b,int c,int d) {return s[c][d]-s[a-1][d]-s[c][b-1]+s[a-1][b-1];}

inline bool check(int x) {
	int ans=0,st=1;
	for(int i=1;i<=r;i++) {
		int p=0,q=1;
		for(int j=1;j<=c;j++)
			if(Sum(st,q,i,j)>=x) p++,q=j+1;
		if(p>=b) st=i+1,ans++;	
	} return ans>=a;
}

int main() {
	r=read(),c=read(),a=read(),b=read();
	for(int i=1;i<=r;i++)
	for(int j=1;j<=c;j++)
		s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+read();
	int l=1,r=4000*500*500;
	while(l<=r) {
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) l=mid+1;
		else r=mid-1;
	} printf("%d\n",l-1);
	return 0;
}