重新认识莫比乌斯函数

CSDN同步

默认大家已经会反演。

考虑一道题目：

求 \(\sum_{i=1}^n \mu^2(i)\)，其中 \(n \leq 10^{14}\).

没办法操作，考虑感性理解。

求的是 \(1-n\) 中无平方因子数的个数。对于每个素数 \(p1\)，因删去 \(\lfloor \frac{n}{p1^2} \rfloor\) 个其平方的倍数。

然后这样也会多做。比如形如 \(p1^2p2^2\) 的数就被重复删了，于是我们要把这些数加回来。有点像容斥原理？

真正容斥。

对于分解质因数后有一个指数 \(>1\) 的数可以忽略，其对答案无贡献。可分解为形如 \(\prod \limits_{i=1}^p p_i\) 形式的，设为 \(d\)，则所有形如 \(d^2k\) 的数的个数会对答案造成影响，也就是 \(\lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor\). 但是是加还是减？我们要看 \(p\) 的奇偶性。也就是其贡献为 \((-1)^p \lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor\)，具体 \(p=1,2\) 的情况上面也有描述。

\((-1)^p = \mu (d)\)，这才是我们最大的发现！

于是：

\[\sum_{i=1}^n \mu^2(i) = \sum_{d=1}^{\sqrt{n}} \mu(d) \lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor \]

感性理解完毕（估计理性理解不了这东西吧？）

于是我们可以知道，\(\mu\) 可以看做对整除关系的容斥。

至此就可以用 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 的时间复杂度解决问题。