POJ1742 Coins 题解

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多重背包板子。具体可以参考 再谈单调队列优化 & 背包九讲.

这里再仔细讲一下二进制拆分的具体做法。

假设你有 \(7\) 个价值为 \(v_i\)，重量为 \(w_i\) 的物体。现在考虑把多重背包变成 \(01\) 背包。如果我们把 \(1\) 个这样的物体看做第一组，\(2\) 个这样的物体看做第二组，\(4\) 个这样的物体看做第三组。你会发现用这三组进行的 \(01\) 背包可以覆盖原来的情况（从二进制上很好理解），并且本来枚举 \(7\) 次，现在你不用去枚举这三组的所有情况（否则不白优化了），而是用 \(3\) 次动态规划解决问题。

如何把若干个这样的物体看做一组？让其 \(v,w\) 跟随个数的增大而同比例增大即可。

于是对于 \(\{ v_i , w_i , c_i \}\) 的物体，必定可以将其分为 \(\log c_i\) 个物体。

现在你对 \(n \log \sum c\) 个物体，\(m\) 重量做 \(01\) 背包。用朴素动态规划。假设 \(T\) 组数据，则：

时间复杂度：\(\mathcal{O}(Tnm \log \sum c)\).

本题理论跑满（不妨设 \(T=5\)）可达 \(8 \times 10^8\)，理论不可过。但无需卡常数，实际即可跑过。

当然也可以用单调队列优化，可以将其复杂度降至 \(\mathcal{O}(Tnm)\)，但这里不多详解，可以到我的背包九讲里去看。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;

const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int n,m,a[N],c[N];
int w[N];
bool f[N];

int main() {
	n=read(); m=read();
	while(n && m) {
		memset(f,0,sizeof(f)); int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
		int cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=c[i];j<<=1) w[++cnt]=j*a[i],c[i]-=j;
			if(c[i]) w[++cnt]=c[i]*a[i];
		} f[0]=1;
		for(int i=1;i<=cnt;i++) 
		for(int j=m;j>=w[i];j--)
				f[j]|=f[j-w[i]];
		for(int i=1;i<=m;i++) ans+=f[i];
		printf("%d\n",ans);		
		n=read(),m=read();
	}
	return 0;
}