树状数组进阶

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前置知识：

• 树状数组单点修改，区间修改。

• 差分。

下面我们考虑区间修改。

一开始我们维护的是部分前缀和，但是现在，区间修改显然不能用前缀和有关的做法。

单区间修改用差分就够了。但是这里有修改，考虑将 差分 和 树状数组 结合。

令 \(c\) 为 \(a\) 的差分，维护 \(a\) 的区间修改与区间和即可，这样 \(a\) 就是 \(c\) 的前缀和了。

那么区间修改只需要改 \(2\) 个点，单点询问只需要问前缀和。但是区间询问则怎么做？

显然，还是用前缀和相减，考虑前缀和。

那么考虑一个东西：

\[\sum_{i=1}^n a_i \]

\[= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i c_j \]

\[= \sum_{i=1}^n c_j (n-i+1) \]

\[= n \times \sum_{i=1}^n c_j - \sum_{i=1}^n c_i (i-1) \]

显然，前面一部分我们已经得到维护，后面我们维护 \(c_i (i-1)\) 即可，开两个树状数组维护。

const int N=1e5+1;
int c[N],b[N];
struct BIT {
	inline int lowbit(int x) {return x&(-x);}
	inline int sum(int x) {
		int s=0; while(x>0)
			s+=c[x]*x-b[x],x-=lowbit(x);
		return s;	
	}
	inline void update(int x,int k) {
		while(x<=n) c[x]+=k,x+=lowbit(x);
	}
} T;