洛谷 P1025 数的划分 & LOJ #10018. 「一本通 1.3 例 1」数的划分
愉快的三倍经验题。
简要题意：
给定 \(n,k\)，求将 \(n\) 分为 \(k\) 个有序正整数之和 的方案数。
\(6 \leq n \leq 200 , 2 \leq k \leq 6\).
算法一
搜索 + 剪枝。
状态设计
首先我们应当考虑，如何设计搜索状态。
对本问题即以下的问题：
- 如何保证和为 \(n\)?
- 如何保证共 \(k\) 个数？
- 如何保证有序？
第一问，我们需要一个 sum，记录当前所选数的和。
第二问，我们需要一个 p，记录当前所选数的个数。
第三问，我们需要一个 ma，记录当前所选数的最大值（其实也即上次选的数）。
那么，每次从 ma - sum 进行一个区间枚举即可。
但是时间复杂度是 指数级 的，不得不说对 \(n = 200 , k = 6\) 的数据是可以通过的，因为方案数有限；但是数据一旦加强，后果不堪设想。
剪枝
以样例为例，\(n=7,k=3\).
第一个数你会选 \(3\) 吗？显然不会，因为后面的数就算都取最小（\(3\)） 也是 \(3 \times 3 = 9 > 7\) 了。
所以，我们需要时刻保证 ma * (k-p+1)+sum<=n，即包括当前数在内 \(k-p+1\) 个数都选最小的 ma，最小的和如果超过 \(n\)，说明无效。如果 \(=n\)，计入答案。即 \(\geq n\) 的情况都可以去除。这样快了很多！
时间复杂度：\(\mathcal{O}(\text{wys})\).
实际得分：\(100pts\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}
inline void write(int x) {
if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}
int n,k,s=0;
inline void dfs(int sum,int p,int ma) {
// printf("%d %d %d %d\n",sum,p,ma,s);
if(p==k) {s+=(n-sum>=ma);return;} // 最后一个数的选择剪枝
if(sum>=n) return; // 最后一个数还没选的情况下，和超过，剪枝
if(ma*(k-p+1)+sum>n) return;
if(ma*(k-p+1)+sum==n) {s++;return;} // 刚才说的两个剪枝
for(int i=ma;i<=n-sum;i++) dfs(sum+i,p+1,i); // 往下一层走
}
int main() {
n=read(),k=read();
dfs(0,1,1);
write(s);
return 0;
}
在 \(n=200 , k=6\) 的情况这样的剪枝没有什么显著作用，本地测试该剪枝加与不加存在约 \(1.5\) 倍的差异。当然通过是肯定能通过的。
于是本人本地测试了 \(n = 200 , k = 10\) 的数据。得到的结果：加剪枝，约 \(55.4s\)；不加剪枝，约 \(146.6s\). 可以看到，在大数据的驱使下，剪枝的效率得到了超高的发挥，效率达到了约 \(2.65\) 倍！（当然，本人电脑极慢，\(\text{CPU}\) 内存分配给 \(\text{C++}\) 的还是太少了）
算法二
考虑动态规划。
易知，我们只要反手开一个记忆化，立刻复杂度变成 \(\mathcal{O}(nk)\).
代码略，在原搜索基础上修正即可。
