P5514 [MtOI2019]永夜的报应 题解

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简要题意：

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，你需要将其分为若干组，使得每一组的异或之和最小。求这个最小值。

实际上这题是个结论题。

先考虑一个问题：对于一个数 \(x\)，唯一的一组 \(S\)，你会选择 将 \(x\) 单分一组还是加入 \(S\) 呢？

由于异或的结合律，所以我们可以抽象地假设一手，设 \(S\) 中所有元素的异或值为 \(m\).

这个问题就变成了，\(x+m\) 和 \(x \oplus m\)，哪个小？

再抽象一手，\(a+b\) 和 \(a \oplus b\)，哪个小？

你的直觉可能是 \(a \oplus b\) 小。最好我们还是证明一下。

假设 \(a>b\) 且 \(a\) 化为二进制后共 \(k\) 位。

对于任意的第 \(i (1 \leq i \leq k)\) 位，存在：

\(0 \oplus 0 = 0 , 0 + 0 = 0\).

\(0 \oplus 1 = 1 , 0 + 1 = 1\).

\(1 \oplus 1 = 0 , 1 + 1 = 10\).（进位）

这样你就会发现 \(a \oplus b \leq a + b\).

当然如果理论上的证明不够愉快，可以来一手感性证明。

异或本质是 不进位的加法，加法是 进位的加法。

这样只要存在进位，异或就会比加法的结果小。否则相等。

回归刚才的那个问题：

对于一个数 \(x\)，唯一的一组 \(S\)，你会选择 将 \(x\) 单分一组还是加入 \(S\) 呢？

显然答案水落石出，就是加入 \(S\).

这样整个问题的答案就出来了，\(\text{xor}_{i=1}^n a_i\) 即为答案。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int main() {
	int n=read(),s=0;
	while(n--) s^=read();
	write(s);
	return 0;
}