P5502 [JSOI2015]最大公约数 题解

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简要题意：

• 给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求出其中一个子串 \(S\)，使得 \(|S| \times \gcd(x \in S )\). 求这个最大值。
• 给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求出一个区间 \([l,r]\) 使得 \((r-l+1) \times \gcd_{i=l}^r a_i\) 最大.求这个最大值。

\(n \leq 10^5 , 1 \leq a_i \leq 10^{12}\).

两种不同表达的题意而已。

首先，抛出一个非常有用的结论：

• 最大值对应的区间长度不超过 \(\log n\).

为什么呢？

固定右区间 \(r\) ，枚举 \(l\) 向左拓展，每拓展一次，\(\gcd\) 要么不变，要么 \(\leq\) 原来 \(\gcd\) 的一半。 这样，不同的 \(\gcd\) 的值最多只有 \(\log n\) 个.

这样我们给定 \(r\) 用类似单调队列的方法维护即可。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n \log n \log a_i)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e6+1;
#define L (x<<1)
#define R (x<<1)+1

inline ll read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(ll x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int n;
queue<int> q,qq;
ll a[N],ans=0;

inline ll gcd(ll n,ll m) {return !m?n:gcd(m,n%m);} //计算 gcd
signed main() {
	n=read(); a[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=read(); int l=0;
		while(!q.empty()) {
			int x=q.front(); q.pop(); //printf("%d\n",x);
			a[x]=gcd(a[x],a[i]);
			ans=max(ans,a[x]*(i-x+1)); //更新答案
			if(a[x] == a[l]) continue;
			qq.push(x); l=x; //新的决策点
		} ans=max(ans,a[i]);
		while(!qq.empty()) {
			q.push(qq.front()); qq.pop();
		} if(a[l] != a[i]) q.push(i);
	} write(ans);
	return 0;
}