P2759 奇怪的函数 题解

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前置知识：

二分，对数。

简要题意：

求 \(x^x\) 的位数超过或达到 \(n\) 位的最小的 \(x\).

\(n \leq 2 \times 10^9\).

首先，\(x^x\) 与 \(x\) 是正比例关系，具有单调性。朴素来说就是 \(x^x\) 随 \(x\) 增大而增大，主要因为 \(x>1\).（答案不可能是 \(1\) 啊）

具有单调性的函数可以进行 二分答案。 可以用 \(\mathcal{O}(\log n)\) 的时间（其实不到 \(\log\)，因为 \(x^x\) 位数大于 \(n\) 答案应该比 \(n\) 小的多，但是数据范围就一个 \(n\)，这样分析也没啥问题）。那么如何验证答案呢？

即已知 \(x\) 和 \(n\)，如何判断 \(x^x\) 的位数是否超过 \(n\)？

下面我们要说一个函数，可以算出一个数的位数。

假设要算 \(a\) 的位数，同时存在 自然数 \(k\) 使得 \(10^k \leq a < 10^{k+1}\)，则 \(a\) 是 \(k+1\) 位数。简单来说，就是，在 \(10^3\) 和 \(10^4\) 之间除了 \(10^4\) 都是 \(4\) 位数，很显然吧！

你会发现 \(\log_{10} 10^k = k , \log_{10} 10^{k+1} = k+1\)，所以，\(\lfloor \log_{10} a \rfloor= k\) .

这样你会发现，\(\lfloor \log_{10} a \rfloor + 1\) 就是 \(a\) 的位数了！

那么验证就是 \(\lfloor \log_{10} a \rfloor + 1 \geq n\) 则达到（超过），否则就没有达到。这样的验证是 \(\mathcal{O}(1)\) 的。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(\log n)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int main() {
	int n=read()-1,l=1,r=1e9; //为了方便 , 先把 1 减掉
	while(l<r) {
		int mid=(l+r)>>1;
		if(mid*log10(mid)<n) l=mid+1;
		else r=mid; //二分答案
	} printf("%d\n",r);
	return 0;
}