LOJ #143. 质数判定 题解
简要题意：
给定 \(T\) 个数 \(n\)，判素数。
\(T \leq 10^5 , n \leq 10^{18}\).
可能你判一个都有困难是不是 \(\cdots \cdots\).
二次探测定理
若 \(x^2 \equiv 1 \pmod p , x < p\)，则 \(x= 1\) 或 \(x = p-1\).
简单证明：
没了。
\(\text{Miller - Rabin}\) 算法
如何快速测试一个数是否为素数？这是基于 二次探测定理 的。
大家一定知道 伪素数 吧！就是那些 费马小定理逆定理的反例，以其中最小的 \(341\) 为例，先以 \(2\) 为底：
\(2^{340} \equiv 1 \pmod {341}\)，第一次通过。
\(2^{170} \equiv 1 \pmod {341}\)，第二次通过。
\(2^{85} \equiv 32 \pmod {341}\)，说明 \(341\) 不是素数。当然如果这一次通过则说明 \(341\) 通过了 \(2\) 的底数检测，因为 \(85\) 是奇数。
当然同样的道理，我们可以以其它素数为底进行判断。这样的成功效率是多少呢？
假设你判断了 \(k\) 个素数，那么错误的概率是 \(4^{-k}\)，实际上和 \(0\) 也差不多。
只用 \(2,7,61\) 进行测试尽可以保证 \(4 759 123 141\) 之内正确。
如果你用 \(2,3,5,7,11,13,17\) 进行测试，可以保证 \(341 550 071 728 320\) 之内所有数正确。
如果选用 \(2, 3, 7, 61,24251\) 作为底数，\(10^{16}\) 之内就存在一个反例：\(46856248255981\).（当然是 \(10^{16}\) 之内唯一的反例，说明了正确的概率之高）
这题是 \(10^{18}\)，本人采用 \(2,3,5,7,11,61,24251\) 可以通过。（当然你也可以用合数进行测试，但合数效率不高）另外本人还添加了 \(10\) 组随机测试（即随机生成底数进行测试），保证了正确性。
时间复杂度：\(\mathcal{O}(T \log^2 n)\). 错误概率：\(4^{-k}\).
实际得分：\(100pts\).
细节：
快速幂中的相乘会溢出，本人的编译器不知道怎么 typedef __int128 ll 会编译错误，所以用了 long double 进行乘法的转移。（不是龟速乘啊）
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
ll x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}
inline void write(int x) {
if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}
ll prime[8]={2,3,5,7,11,61,24251};
inline ll times(ll x,ll y,ll MOD) {
x%=MOD; y%=MOD;
ll t=(long double) x/MOD*y;
ll p=x*y-t*MOD;
return ((p%MOD)+MOD)%MOD;
} //计算 x*y
inline ll pw(ll x,ll y,ll MOD) {
ll ans=1; while(y) {
if(y&1) ans=times(ans,x,MOD);
x=times(x,x,MOD); y>>=1;
} return ans;
} //快速幂
inline bool check(ll x,ll y,ll MOD) {
ll p=pw(x,y,MOD);
if(p!=1 && p!=MOD-1) return 0; //测试失败
if(p==MOD-1 || (p==1 && (y&1))) return 1; //测试成功
return check(x,y>>1,MOD); //继续测试
}
inline bool Miller_Rabin(ll n) {
if(n<=1) return 0;
for(int i=0;i<7;i++) {
if(n==prime[i]) return 1;
if(n%prime[i]==0) return 0;
if(!check(prime[i],n-1,n)) return 0; // 7 个素数轮流测试
} for(int i=1;i<=10;i++) {
int t=2+rand()%(n-2);
if(!check(t,n-1,n)) return 0; // 10 个随机
} return 1;
}
int main() {
ll x; while(~scanf("%lld",&x)) puts(Miller_Rabin(x)?"Y":"N"); //套路
return 0;
}
