P1435 回文字串 题解

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简要题意：

给定一个长为 \(n\) 的字符串 \(s\)，求至少插入多少个字符能使得 \(s\) 变成回文串。

\(n \leq 10^3\).

\(\text{IOI2000}\) 签到题，可以仔细看一下。

这题个人用的区间 \(\text{dp}\) 很有思考价值。

可以思考一下：答案最大为 \(n\).显然直接把 \(\text{rev}(s)\) 加到 \(s\) 后面就行（\(\text{rev}\) 表示翻转后的串），这样是 \(n\) 个字符。

但是显然，对于 \(\text{rev}(s)\) 和 \(s\) 中，相同的序列（序列不连续）可以选择跳过。就比方说，\(s=\) ab3bd，\(\text{rev}(s) =\) db3ba，你会发现：

\(s\) 的子序列 b3b 与 \(\text{rev}(s)\) 的子序列 b3b 完全相同。那原来的答案是：ab3bddb3ba，实际上答案会是 adb3bda，相当于你把 \([\) b3b , b3b \(]\) 除了两个 b3b ，其余的回文字符保持回文，丢到两边去；然后只剩下一个 b3b，这样答案 \(-3\). \(5-3=2\)，可以证明是最优的。

那么其实我们就是要找到 \(s\) 和 \(\text{rev}(s)\) 的 最长公共子序列，然后一减即为答案！最长公共子序列怎么求呢？假设我们要求 \(s\) 和 \(t\) 的 最长公共子序列。

用 \(f_{i,j}\) 表示 s[1 ~ i] 与 t [1 ~ j] 的答案。则：

\[ \begin{cases} f_{i,j} = f_{i-1,j-1} + 1 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space , s[i] = t[j] \\ f_{i,j} = \max(f_{i-1,j} , f_{i,j-1}) , s[i] \not = t[j] \\ \end{cases}\]

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n^2)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e3+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int n,f[N][N];
char s1[N],s2[N];

int main() {
	scanf("%s",s1+1); n= strlen(s1+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) s2[i]=s1[n-i+1]; //下标从 1 开始 , 便于操作
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
		if(s1[i]==s2[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
		else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]); //dp
	printf("%d\n",n-f[n][n]);	//答案
	return 0;
}