P1395 会议 题解

CSDN同步

原题链接

简要题意：

给定 \(n\) 个节点的一棵树，用 \(\text{dis}(x,y)\) 表示 \(x,y\) 的距离，\(s_x = \sum_{y=1}^n \text{dis}(x,y)\).求最小的 \(x\) 和 \(s_x\).（其实就是求树上到一点距离之和最小的点和该距离）

\(n \leq 5 \times 10^4\).

数据加强：\(n \leq 10^7\).

首先，我们可以统计 \(a_x\) 表示以 \(x\) 为根的子树大小。我们开局默认 \(1\) 是整棵树的根，那么树就有了层次，子树就是唯一的。

如何快速统计 \(s_x\) 呢？你会发现，如果用 \({fa}_x\) 表示 \(x\) 的父亲节点，那么 \(s_x\) 和 \(s_{{fa}_x}\) 是可以进行转移的。这是 典型的换根 \(\text{dp}\) 模板。

简单来说，就是，已知 \(s_{{fa}_x}\)，如何 \(\mathcal{O}(1)\) 求出 \(s_x\) 呢？

实际答案不难：

• 在 \(s_{{fa}_x}\) 的基础上转到 \(s_x\)，则以 \(x\) 为根的子树对 \(x\) 的贡献比对 \({fa}_x\) 的贡献少 \(1\)，所以需要 \(-a_x\).（包括 \(x\) 本身）。
• 不包含在 \(x\) 为根的子树内的所有节点对 \(x\) 的贡献比对 \({fa}_x\) 的贡献多 \(1\)，所以需要 \(+a_1 - a_x\).（因为 \(1\) 是树根，所以 \(a_1\) 就是所有节点的个数）（这里包括 \({fa}_x\) 本身）

可得：

\[s_x = s_{{fa}_x} - a_x + a_1 - a_x \]

当然 \(s_1\) 我们可以在统计 \(a\) 的时候顺便暴力算一下。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n)\).

实际得分：\(100pts\).

细节：

如果在统计 \(s\) 的时候用 mini 和 minh 进行统计可能会出现错误。这是因为，统计 \(s\) 并不是按照编号大小，而是按照 \(\text{dfs}\) 的顺序，题意是 若干 \(s_x\) 相同的 \(x\) 输出最小的一个，所以最后我们要重新统计 minh 的答案。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e4+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	   int x=0;while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

int a[N],n,s[N];
vector<int> G[N];
int mini,minh;

inline void dfs(int dep,int fa,int far) {
	bool f=0; s[1]+=far;
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++)
		if(G[dep][i]-fa) {f=1;break;}
	if(!f) {a[dep]=1;return;} //叶节点
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++)
		if(G[dep][i]-fa) {
			dfs(G[dep][i],dep,far+1);
			a[dep]+=a[G[dep][i]];
		} a[dep]++; //别忘了自己
}

inline void meeting(int x,int fa) {
	s[x]=s[fa]+a[1]-a[x]-a[x];
	if(s[x]<mini) mini=s[x],minh=x;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++)
		if(G[x][i]-fa) meeting(G[x][i],x); //统计 s 和答案
}

int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int u=read(),v=read();
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	} dfs(1,0,0); mini=s[1],minh=1;
	for(int i=0;i<G[1].size();i++) meeting(G[1][i],1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(s[i]==mini) {minh=i; break;}
	printf("%d %d\n",minh,mini); //更新答案
	return 0;
}