UVA11401 Triangle counting 题解

CSDN同步

原题链接

简要题意：

若干组数据，每组数据给出一个 \(n\) ，求出 三边均 \(\leq n\) 且互不相等 的三角形个数。两个三角形不同当且仅当至少有一边长度不同。

首先我们应当考虑三角形的性质。设三边为 \(x,y,z\) 且 \(x>y>z\).

则：

\[x < y+z \]

可以得到 \(y\) 的范围：

\[x-z < y < x \]

假设 \(f_x\) 表示 \(x\) 为最长边时的答案。

此时应存在：

\[f_x = x - (x-z) - 1 = z - 1 \]

显然这是已知 \(z\) 的情况。\(z \leq x-2\)，所以：

\[f_x = \sum_{z=1}^{x-2} z-1 = \sum_{z=1}^{x-1} z = \frac{(x-1)(x-2)}{2} \]

但是你会发现这并不正确。\(y=z\) 的情况需要剔除，这是一个简单的容斥思想。

当 \(y=z\) 时，显然存在：

\[\frac{x}{2} + 1 \leq y = z \leq x-1 \]

所以这种情况的方案数为：

\[(x-1) - (\frac{x}{2} + 1) = \frac{x-2}{2} \]

考虑原来可能把 \(y=2 , z = x-1\) 和 \(y=x-1 , z=2\) 重复计算，因此可得：

\[f_x = \frac{ \frac{(x-1)(x-2)}{2} - \frac{x-2}{2} }{2} =\frac{(x-2)^2}{4} \]

当 \(x\) 为自然数时应向下取整。

因此，若 \(g_x\) 表示题目所求，则：

\[\begin{cases} g_x = 0 , x=1,2,3 \\ g_x = g_{x-1} + f_x , x >3 \\ \end{cases} \]

以此类推即可。

时间复杂度：\(O(n+T)\). （\(T\) 为数据组数）

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef __int128 ll;
const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(ll x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

ll f[N]; int n;

int main() {
	f[1]=f[2]=f[3]=0ll;
	for(ll i=4;i<N;i++) f[i]=f[i-1]+(i-2)*(i-2)/4;
	while(1) {
		n=read(); if(n<3) return 0;
		write(f[n]); putchar('\n');
	}
	return 0;
}