P4213 【模板】杜教筛（Sum） 题解

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前置知识：

莫比乌斯反演，线性筛，狄利克雷卷积，整除分块。

简要题意：

\(T\) 组询问，求：

\[\sum_{i=1}^n \mu_i \]

\[\sum_{i=1}^n \phi_i \]

其中，\(T \leq 10\)，\(n<2^{31}\).

首先，你需要知道这道题目的 \(O(Tn \sqrt{n})\) 算法，\(O(Tn)\) 算法，\(O(T+n)\) 算法。

显然，\(O(Tn \sqrt{n})\) 是暴力，\(O(Tn)\) 是一个个筛，\(O(T+n)\) 是预处理 线性筛，一个都无法通过。

这题的瓶颈在于，我们 并不需要一个个求出 \(\mu\) 和 \(\phi\)，可以不拘泥于此。

想想：我们之前求 \(\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 的时候，之前手玩 莫比乌斯反演 的时候，甚至有一次玩到 \(6\) 个 \(\sum\) 还是一一解决了。走过这么多困难，切掉了这么多紫题，这一题怎么就不行了呢？

事实告诉人们，题目从来都是人做出来的。

我们考虑几个简单的卷积：

\[\mu * \text{I} = ϵ , \phi * \text{I} = \text{Id} , \mu * \text{Id} = \phi \]

好，根据这些，我们开始了伟大的探索。

假设我们要求一个 积性函数 \(f\)，可以先不直接求，搞出另一个 \(g\)，首先考虑怎么求出 \(f * g\) 的前缀和，那样就可以求出 \(\sum_f\).

根据 莫比乌斯反演 的性质可得：

\[\sum_{i=1}^n (f*g) (i) \]

\[= \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} f(d) \times g(\frac{i}{d}) \]

\[= \sum_{d=1}^n g(d) \times \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} f(i) \]

假设 \(f\) 的前缀和为 \(S\)，则：

\[= \sum_{d=1}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \]

现在我们要求的是 \(S(n)\).

\[g(1) S(n) = \sum_{d=1}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) - \sum_{d=2}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \]

显然，因为 \(g(1) S(n)\) 是 \(d=1\) 的答案，考虑前缀和相减即可。

此时可以得到：

\[g(1) S(n) = \sum_{d=1}^n (f * g) (d) - \sum_{d=2}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \]

那么显然：

\[S(n) = \frac{\sum_{d=1}^n (f * g) (d) - \sum_{d=2}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)}{g(1)} \]

此时你会说了，好，这个式子怎么求呢？

这个式子确实难求，但关键是，\(g\) 函数是我们自己定的，我们可以定一个 \(g\) 使得 \(g\) 和 \(f*g\) 的前缀和都非常好算。

好算？联系积性函数的性质，我们想到了：\(\text{I}\) 和 \(ϵ\) 都是积性函数，前缀和也非常的简单。后面一堆我们可以整除分块。

先不管怎么定 \(g\)，伪代码大概长这样：

inline ll sieve(ll n) {
	ll ans=calc(n); //calc(i) 负责计算 (f*g)(i)
	for(ll i=2,r;i<=n;i=r+1) {
		r=(n/(n/i));
		ans-=(sum(r) - sum(i-1)) * sieve(n/i); //sum(i) 计算 g 的前缀和
	} return ans;
}

显然你会发现，这里有递归部分。

递归？这东西，显然会把很多东西重复计算。

因此我们需要 记忆化。

到这里，杜教筛 的样子渐成，我们已经得到了其中的 \(60 \%\).

下面的难点在于确定 \(g\).

入手题目。

\(f = \phi\)，令 \(g = \text{I}\)，则 \(f * g = \text{Id}\)，此时可以解决。

\(f = \mu\)，令 \(g = \text{I}\)，则 \(f * g = ϵ\)，此时也可以解决。

好了，现在的问题在于，这东西的时间复杂度如何？

你发现无法通过，因为，杜教筛必须要初始化一部分数据。

假设我们将 \(n \leq k\) 的情况的答案都初始化一遍。那么，经过分析（具体证明） 可得，这样的时间复杂度是：

\[O(k + \frac{n}{\sqrt{k}}) \]

你会发现，只要 \(O(k)\) 不出问题，\(k\) 越大越好。

显然，\(k\) 和 \(\frac{n}{\sqrt{k}}\) 成反比，相等时和最小。（反比例函数知识）

所以，\(k=n^{\frac{2}{3}}\) 时，时间复杂度达到 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)，是比较优的。

时间复杂度： \(O(Tn^{\frac{2}{3}})\).

实际得分：\(100pts\).

博主的代码太丑，不想拿出来了。以后会重构代码发出来的。