P6023 走路 题解

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简要题意：

小 \(A\) 为了防止猝死，在 \(n\) 天中准备走 \(\leq m\) 步，给出若干奖励政策形如 “第 \(p\) 天走完 \(q\) 步，那么该天 接下来走的每一步 都会增加 \(1\) 分”；奖励可以累加。求最高分数。

先庆祝一下：

看到了吧，我在这题的评测排名中排 \(\text{Rank6}\)，\(98ms\) 可还行？

首先本题就在于，每个政策都是对应 \(1\) 天而言的，所以一个贪心思想就是，考虑把所有步数都放在同 \(1\) 天。

然后就AC了可海星

如何证明？

假设，枚举所有天考虑 \(n\) 步全部放在该天的答案中，第 \(x\) 天的答案为 \(y\) 是最大值。

那么，有没有可能，将这 \(n\) 天的部分（可能为 \(n\)）分给别的天，然后达到更优呢？显然是不可能的。

因为当前天已经是最优答案，这里出题人给出了解答：

假如有两天，比如第一天和第二天都走了路，设两天走的步数、已获得积分、接下来每步获得的积分分别为 \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\)，且 \(c_1 \geq c_2\)

如果我们把所有步数都放到第一天，那么我们至少会获得 \(b_1+a_2\times c_1\) 分（后面可能还有其他的激励措施）。同时，由于同一天内每一步获得的分数是递增（非严格）的，我们有

\[b_1+a_2\times c_1\ge b_1+a_2\times c_2\ge b_1+b_2 \]

所以，如果分数最大，那么必定所有步数都是放在同一天。

对的没错，这个证明简单至极，话说都放在同一天不是更容易猝死了么

然后，对于每个 “\(x\) 天 \(y\) 步的奖励”，肯定会对第 \(x\) 天增加 \(n-y\) 的贡献（因为都在第 \(x\) 天了），把贡献存在数组里打擂即可。

时间复杂度：\(O(m)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+1;

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

ll n,m,k,a[N];
ll ans=0;

int main(){
	n=read(); m=read(); k=read();
	for(int i=1,p;i<=k;i++) p=read(),a[p]+=(n-read()),ans=max(ans,a[p]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}