P1784 数独 题解
前置知识：
浅谈 \(\text{Dancing Links X}\) 算法
注：这次的前置知识如果你不会又不看，代码和思路肯定都看不懂的。
简要题意：
填满一个未完成的数独。
首先数独的规则是：
-
每行所填数不得重复，为 \(1\) ~ \(9\) 之间。
-
每列所填数不得重复，为 \(1\) ~ \(9\) 之间。
-
每宫所填数不得重复，为 \(1\) ~ \(9\) 之间。
首先这是一个数学游戏，但是如果你想在 \(1s\) 之内 \(\text{AK}\) 吊打全场，那么就要学习如何解决数独问题。
下面我们来说说，怎么把它扯到 精确覆盖 上面呢。
决策应该是形如 \((i,j,x)\) 的三元组，表示 \(a_{i,j} = x\).
第 \(i\) 行只能用一个 \(x\)，需要 \(9 \times 9 = 81\) 列。（每个格子都要开一列，对应 \(1\) ~ \(81\) 列）
第 \(j\) 列只能用一个 \(x\) ，再开 \(9 \times 9 = 81\) 列。（每个格子都要开一列，对应 \(82\) ~ \(162\) 列）
\((i,j)\) 所在的宫只能用一个 \(x\)，再开 \(9 \times 9 = 81\) 列。（每个格子都要开一列，对应 \(162\) ~ \(243\) 列）
\((i,j)\) 只能填一个数（千万不要忽略这个！），再开 \(9 \times 9 = 81\) 列。（每个格子都要开一列，对应 \(244\) ~ \(324\) 列）
那么多少行呢？显然，\(9^3 = 729\) 行，因为每个行、列、宫都要决策一次。
所以我们就将数独问题转化成一个 \(729 \times 324\) 的矩阵上有 \(729 \times 4 = 3216\) 个 \(1\) 的 精确覆盖问题 。
然后直接套板子，主要建图即可。
时间复杂度：\(O(wys)\).（很优但难以说明，严格来说是 \(O(c^n)\) ，其中 \(n \leq 3216\)，\(c\) 为极其接近 \(1\) 的常数）
实际得分：\(100pts\).
通过时间：\(11ms\).（看到了吧，精确覆盖比搜索剪枝快十几倍）
// 板子部分不再解释
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+1;
#define FOR(i,A,x) for(int i=A[x];i!=x;i=A[i])
inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
int n,m,id,fir[N],siz[N];
int L[N],R[N],U[N],D[N];
int col[N],row[N],ans;
int stk[N];
inline void remove(int x) {
// printf("remove : %d\n",x);
L[R[x]]=L[x]; R[L[x]]=R[x];
FOR(i,D,x) FOR(j,R,i) U[D[j]]=U[j],D[U[j]]=D[j],--siz[col[j]];
}
inline void recover(int x) {
// printf("recover : %d\n",x);
FOR(i,U,x) FOR(j,L,i) U[D[j]]=D[U[j]]=j,++siz[col[j]];
L[R[x]]=R[L[x]]=x;
}
inline void build(int x,int y) {
// printf("build : %d %d\n",x,y);
n=x,m=y; for(int i=0;i<=y;i++)
L[i]=i-1,R[i]=i+1,U[i]=D[i]=i;
L[0]=y,R[y]=0,id=y;
memset(fir,0,sizeof(fir));
memset(siz,0,sizeof(siz));
}
inline void insert(int x,int y) {
// printf("insert : %d %d\n",x,y);
col[++id]=y,row[id]=x,++siz[y];
// U[id]=D[id]=y,U[D[y]]=id,D[y]=id;
D[id]=D[y],U[D[y]]=id,U[id]=y,D[y]=id;
if(!fir[x]) fir[x]=L[id]=R[id]=id;
else R[id]=R[fir[x]],L[R[fir[x]]]=id,L[id]=fir[x],R[fir[x]]=id;
}
int a[1001][1001];
inline bool dance(int dep) {
// printf("dance : %d\n",dep);
if(!R[0]) {
for(int i=1;i<dep;i++) {
int x=(stk[i]-1)/9/9+1,y=(stk[i]-1)/9%9+1,z=(stk[i]-1)%9+1;
a[x][y]=z; //算出行 , 列 , 宫 , 存储答案
} return 1;
}
int wz=R[0]; FOR(i,R,0) if(siz[i]<siz[wz]) wz=i;
remove(wz); FOR(i,D,wz) {
stk[dep]=row[i]; FOR(j,R,i) remove(col[j]);
if(dance(dep+1)) return 1;
FOR(j,L,i) recover(col[j]);
} recover(wz); return 0;
}
int main(){
build(729,324);
for(int i=1;i<=9;i++) for(int j=1;j<=9;j++) {
a[i][j]=read();
for(int k=1;k<=9;k++) {
if(a[i][j]-k && a[i][j]) continue;
int t=((i-1)*9+(j-1))*9+k;
insert(t,(i-1)*9+j);
insert(t,81+(i-1)*9+k);
insert(t,243+(j-1)*9+k);
insert(t,162+((i-1)/3*3+(j-1)/3)*9+k); //建图
}
} dance(1);
for(int i=1;i<=9;i++) {
for(int j=1;j<=9;j++) printf("%d ",a[i][j]);
puts("");
}
return 0;
}
