P2512 [HAOI2008]糖果传递 题解
简要题意：
一开始每个人有若干糖果，每个人每次将 \(1\) 个糖果传递给 相邻（认为 \(1\) 号与 \(n\) 号也相邻）的一个人 需要 \(1\) 的代价。求让所有人的糖果一样的最小代价。
显然，如果 \(1\) 号与 \(n\) 号不相邻，那就退化了成了 P1031 均分纸牌，但 理想是美好的，现实是残酷的，所以我们要着手环的问题。
算法一
破环为链。
考虑在哪里把环切断，然后暴力跑均分纸牌的贪心。
时间复杂度：\(O(n^2)\).
实际得分：\(0pt\) ~ \(100pts\).（出题人没写部分分）
算法二
首先我们算出 \(\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\) 即平均数。
然后，用 \(x_i\) 表示 \(i\) 号给了 \(i-1\) 号若干糖果，而 \(x_1\) 就是 \(1\) 号给了 \(n\) 号若干糖果。如果 \(x_i < 0\) 则说明是 \(i-1\) 号（\(i=1\) 时为 \(n\) 号） 给了 \(i\) 号若干糖果。并用 \(c_i\) 表示 \(i\) 号节点 比平均糖果多的值，少则为负数，然后 \(c_i\) 对自己做前缀和。
这时，我们想要最小化 \(x_i\) 的绝对值之和，也即：
为什么呢？你可以这样理解，每一组给糖果的关系就是前缀和的差，然后你搞出一个点叫做 \(X\) 实现这个过程。
然后你看一眼这个式子，你发现 \(X_1 - c_i\) 是 数轴上表示 \(X_1\) 的点到表示 \(c_i\) 的点的距离（来自小学数学老师），然后问题就退化为：
找一个 \(X\) 使得它与 每一个 \(c_i\) 的距离之和最小。
这小学贪心题啊，取中位数就行了。
时间复杂度：\(O(n \log n)\).（主要是 取中位数要排序，如果用数据结构可能会优化到线性）
实际得分：\(100pts\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+1;
inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
ll a[N],x[N],ans=0;
ll n,sum=0; //sum 是平均数
int main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) sum+=(a[i]=read());
sum/=n; for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=x[i-1]+sum-a[i]; //前缀和差值
sort(x+1,x+1+n); int mid=x[(n+1)>>1]; //排序中位数
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(x[i]-mid); //统计差值答案
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
