P1351 联合权值 题解

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简要题意：

给定一棵树，每两个距离为 \(2\) 的点 \(u,v\) 会产生 \(w_u \times w_v\) 的“联合权值”。求 “联合权值” 的和，以及所有联合权值中的最大值。

其实这题作为 \(\text{NOIP 2014tg Day1T2}\)，并不难。

首先考虑：距离为 \(2\) 的点只有两种情况：

1. 爷爷和孙子的关系。

2. 弟弟和哥哥的关系。

具体到树上就是，\(u=fa_{fa_v}\)，或者 \(fa_u = fa_v\)，都会产生 \(w_u \times w_v\) 的贡献。

对于求最大值，我们可以遍历每个节点 \(i\)，统计 \(i\) 的爷爷和自己的贡献，以及所以 \(fa_u = fa_v = i\) 的最大值，取出 \(i\) 儿子中的最大值和次大值即可。

对于求和，我们发现，如果 \(u\) 的第 \(v\) 个儿子为 \(sub_{u,v}\)，且共 \(k\) 个儿子，则贡献为：

\[\sum_{i=1}^k \sum_{j=i+1}^k w_{sub_{u,i}} \times w_{sub_{u,j}} \]

\[=\frac{ \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k w_{sub_{u,i}} \times w_{sub_{u,j}} - \sum_{i=1}^k w_{sub_{u,i}} \times w_{sub_{u,i}} }{2} \]

（两两的乘积，先总的重复计算，减去自己乘自己的，交换 \(\div 2\)）

\[= \frac{ \bigg ( \sum_{i=1}^k w_{sub_{u,i}} \bigg )^2 -\sum_{i=1}^k ( w_{sub_{u,i}} )^2}{2} \]

太精妙了！！！

所以统计 平方和 和 和的平方 即可。平方和和和的平方

时间复杂度：\(O(n)\).

实际得分：\(100pts\).

细节：总和要取模，最大值不用。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MOD=1e4+7;
const int N=2e5+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	   int x=0;while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

ll n,w[N];
vector<int> G[N];
vector<int> son[N];
ll ans1,ans2;

inline void dfs(ll dep,ll fa,ll gr) {
//正在处理 dep,父亲节点为 fa,祖父(爷爷) 节点为 gr
	ll zd=0,cd=0,sum1=0,sum2=0;
	for(ll i=0;i<G[dep].size();i++) {
		ll v=G[dep][i];
		if(v!=fa) {
			sum1=(sum1+w[v])%MOD;
			sum2=(sum2+w[v]*w[v]%MOD)%MOD; //两边一起统计
			if(w[v]>zd) cd=zd,zd=w[v];
			else if(w[v]>cd) cd=w[v]; //最大值，次大值
			dfs(v,dep,fa); //往下搜索
		}
	} sum1=(sum1*sum1)%MOD; //和的平方
	ans1=max(ans1,max(cd*zd,w[dep]*w[gr])); //统计最大值
	ans2=(ans2+(sum1+MOD-sum2)%MOD+w[dep]*w[gr]*2%MOD)%MOD; //统计和
}

int main(){
	n=read();
	for(ll i=1;i<n;i++) {
		ll u=read(),v=read();
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	} for(ll i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
	dfs(1,0,0);
	printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
	return 0;
}