P1985 [USACO07OPEN]翻转棋 题解

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简要题意：

给定一个 \(01\) 棋盘，每次可以翻转一个“十”字形（即一个格子连同它四方向的相邻格子，出界则不翻）。求在哪些格子上翻转（十字形的中心）可以使得 翻转后全 \(0\) 且 方案字典序最小 。

首先 \(n,m \leq 15\)，本着面向数据范围做题的原理，分析算法。

算法一

枚举翻转哪些格子进行验证。

时间复杂度：\(O(2^{n \times m} \times n \times m)\)，难以接受这样的爆炸性复杂度。

算法二

需要我们分析一下题目。

我们肯定无法枚举 \(n\) 行所有的翻转情况，但我们可以枚举 \(1\) 行。

• 什么？枚举 \(1\) 行？

• 没错，我们只枚举第 \(1\) 行是否翻转。

• 那么，其它行的怎么办呢？

• 其实很简单。你想：在 按照行的顺序枚举 的情况下，如果 \(a_{i-1,j} = 0\)，那么 \(a_{i,j}\) 肯定不翻；因为，其它能够改变 \(a_{i-1,j}\) 的格子已经全部确定，再翻成 \(1\) 就翻不回去了。 那同理，如果 \(a_{i-1,j}=1\)，那么 \(a_{i,j}\) 肯定翻，因为 其它能够改变 \(a_{i-1,j}\) 的格子已经全部确定，不翻成 \(0\) 也就翻不回去了。

思路基本成型：枚举第一行的翻转状态，以此递推出每一个格子的翻转状态，模拟翻转验证，记录字典序最小即可。

那么，无解是什么情况呢？

你会发现，如果最后无解的，那就肯定所有的 \(1\) 都在最后一行。

因为，前面的都已经被下面的格子重新翻回去了，而最后一行每人会翻它们。

这样子枚举即可。

时间复杂度：\(O(2^m \times n \times m)\)，大概 \(7.3 \times 10^6\)，可以通过。

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=20;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int h[N],a[N][N];
int n,m,b[N][N];
int turn[N][N],p[N][N];
int rev[N],ans=INT_MAX;

const int dx[5]={0,0,0,1,-1};
const int dy[5]={0,1,-1,0,0};

inline void _rev_(int x,int y) {
	for(int i=0;i<5;i++) {
		int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
		if(nx<1 || ny<1 || nx>n || ny>m) continue;
		b[nx][ny]^=1;
	} //模拟翻转过程
}

inline void check() {
	memset(turn,0,sizeof(turn));
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) b[i][j]=a[i][j]; //备份，准备翻转
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(rev[i]) {
			_rev_(1,i); turn[1][i]=1;
		} //先翻第一行
	for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
		if(b[i-1][j]) turn[i][j]=1,_rev_(i,j); //依次确定后面的行
	for(int i=1;i<=m;i++) if(b[n][i]) return; //最后一行判断
	int s=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++) if(turn[i][j]) s++; //记录 1 的个数,便于字典序排序
	if(s<ans) { //较小
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++) p[i][j]=turn[i][j];
		ans=s; //更新答案
	}
}

inline void dfs(int x) { //x 表示当前枚举的是 1 行 x 列
	if(x>m) { //验证
		check(); return;
	} for(int i=0;i<=1;i++)
		rev[x]=i,dfs(x+1); //是否翻转当前格
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();
	dfs(1); //枚举第一行状态
	if(ans==INT_MAX) puts("IMPOSSIBLE"); //无解
	else 
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=m;j++) printf("%d ",p[i][j]);
			puts("");
		} //输出答案
	return 0;
}