P6268 [SHOI2002]舞会 题解

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前置知识：

匈牙利算法

简要题意：

求图的二分图最大独立集。

二分图最大独立集指：最大的一个点集使得每两个点都不在同一边上的这个点集的大小。

你会发现，这和 二分图最大匹配 似乎是有联系的。

给出恒等式：

二分图最大独立集 = 图的点数 - 最小点覆盖 = 图的点数 - 最大匹配。

最小点覆盖指：最小的一个点集使得每一条边至少有一个端点在该点集中。

你会发现，最小点覆盖和最大匹配本质没有区别。你选边满足边不共点，就是选点满足每边有点啊。

所以，求一遍最大匹配然后减一下即可。

• 细节

匈牙利算法的模板似乎从 \(1\) ~ \(n\) 扫一遍能过（尽管它题目说 的是 \(0\) ~ \(n-1\)），但是这题不行。所以，我们要考虑 \(0\) 的话，就得给 \(\text{vis}\) 和 \(\text{mat}\) 赋值为 \(-1\).

时间复杂度：\(O(n \times m)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e3+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int n,m,T,vis[N],mat[N];
vector<int>G[N]; bool h[N];

inline bool dfs(int dep,int bs) {
	if(vis[dep]==bs) return 0;
	vis[dep]=bs;
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++) {
		int x=G[dep][i];
		if(mat[x]==-1 || dfs(mat[x],bs)) {
			mat[x]=dep;
			return 1;
		}
	} return 0;
}

int main(){
	n=read(),T=read();
	while(T--) {
		int x=read(),y=read();
		G[x].push_back(y);
	} int ans=0;
	memset(mat,-1,sizeof(mat));
	memset(vis,-1,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(dfs(i,i)) ++ans;
	printf("%d\n",n-ans);	
	return 0;
}