P4753 River Jumping 题解

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简要题意：

一条宽度为 \(L\) 的河上有若干石头，每次只能在石头上跳跃（一开始从 \(0\) 开始跳），且跳跃距离的下限为 \(S\).问能否一个来回将所有石头（包括河对面的那块）全跳一遍；如果能，则输出方案。

算法一

二分。

注意到，我们可以对 跳跃上限 进行二分。

然后贪心地，每次跳 在下限之上离自己最近的 一块石头。

当然如果 这块石头距离超过上限 说明当前验证无解。

然后记录答案即可。

时间复杂度：\(O(n \log n)\).

实际得分：\(100pts\).

代码就不给出了，因为 博主太懒了 并不是最优的。

算法二

既然不求上限，为什么要二分上限呢？

反正上限是不固定的，不必二分它，而且我们并不关心上限是多少这个问题。

下面考虑贪心。

你想，假设你在 \(x\) 的位置，离你最近的两块石头是 \(y < z\)，且满足 \(y - x \geq S\)，\(z -y \geq S\)，你会选择？

显然是选择 \(x \rightarrow y \rightarrow z\) 这样子。

那么你说：如果不跳 \(y\)，给回头路踩呢？

这是不对的，因为 \(z\) 后面的石头肯定和 \(y\) 的距离 \(\geq S\)，回来的时候可以直接不跳 \(y\)，这是因为没有上限！

所以，每次跳最多的石头就是最优的。

时间复杂度：\(O(n)\).

实际得分：\(100pts\).

具体细节见代码。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+2;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int a[N],n,L,S;
bool h[N]; int fir;
int jump[N],f=0;

int main(){
	L=read(),n=read(),S=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	a[0]=0; a[n+1]=L;
	for(int i=1;i<=n+1;i++) 
		if(a[i]-fir>=S) { //能跳就跳
			jump[++f]=i; //记录答案
			fir=a[i]; //fir 记录当前跳到的位置
			h[i]=1; //标记，回头不再跳过
		}
	if(fir!=a[n+1]) {puts("NO");return 0;} //没跳到头，结束
	for(int i=n;i>=0;i--)
		if(!h[i] && fir-a[i]>=S) { //没有标记过，跳
			jump[++f]=i;
			fir=a[i];
			h[i]=1;
		}	//同理
	if(f<n+2) {puts("NO");return 0;} //没有跳完
	puts("YES");
	for(int i=1;i<=f;i++)
		printf("%d ",jump[i]);	//输出答案
	return 0;
}