CF230B T-primes 题解
简要题意:
判断一个数是否只有 \(3\) 个因数。
首先,如果一个数有奇数个因数,那么这个数是完全平方数。
道理很简单:因数是成对的,那么必然存在 \(k^2 = n\),此时 \(k\) 就是单个的,\(n\) 就是完全平方数。
但是,你会发现,并不是所有的完全平方数都一定有三个因数。
比方说: \(36\).
\(1 \space 2 \space 3 \space 4 \space6 \space 9 \space 12 \space 18 \space 36\)
一看这么多因数就不是3个
显然,我们发现:
若 \(n = k ^ 2\),用 \(f_n\) 表示 \(n\) 的因数个数,则:
\[f_n = 2 \times f_k-1
\]
原因也很简单:因数是成对出现的,减去重复的 \(k\) 一个。
那么,此时;
\[2 \times f_k - 1 = 3
\]
\[f_k = 2
\]
也就是 \(f_k\) 是质数!
我们发现, \(n \leq 10^{12}\),则 \(k \leq \sqrt{n} \leq 10^6\).
显然,我们可以欧拉筛出 \(\leq 10^6\) 的质数表,然后 \(O(1)\) 判断。
综上:
\(n\) 不是完全平方数,或者 \(\sqrt{n}\) 不是质数时,答案为 \(\texttt{NO}\).
否则答案为 \(\texttt{YES}\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+1;
inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
bool h[N];
int prime[N],f=0;
inline void Euler() {
h[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++) {
if(!h[i]) prime[++f]=i;
for(int j=1;j<=f && i*prime[j]<N;j++) {
h[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
} //欧拉筛模板
int main(){
int T=read(); Euler(); while(T--) {
ll n=read();
if(n==1) puts("NO");
else {
ll q=sqrt(n);
if(q*q-n || h[q]) puts("NO");
else puts("YES");
}
}
return 0;
}
洛谷上竟然标蓝题,我谔谔
简易的代码胜过复杂的说教。