浅谈整除分块

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整除分块是一个挺简单但是应用极广的算法。

听上去挺难，实际不难。

实则它是解决这样一类问题：

求:

\[\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \]

你可能觉得这个式子无法下手，连个 \(\gcd\) 也推不起来。

我们下面证明一个结论：

在 \(\lfloor \frac{n}{1} \rfloor\)，\(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdots \lfloor \frac{n}{n} \rfloor\) 中，

不同的数值 最多 有 \(2 \times \sqrt{n}\) 个。

证：

首先， \(i \leq \sqrt{n}\) 的时候，肯定取值不超过 \(\sqrt{n}\) 个。

其次，\(i > \sqrt{n}\) 的时候，会有：

\[\lfloor \frac{n}{i} \rfloor < \sqrt{n} \]

这个性质不明白，可以去重学因数了

所以，不同的取值也不超过 \(\sqrt{n}\) 个。（实际不能等于 \(\sqrt{n}\)，但是我们不在乎这点常数）

所以，总取值不超过 \(2 \times \sqrt{n}\) 个。

这是数学上的说法，在编程上说，我们忽略常数，就说是 \(\sqrt{n}\) 个（指时间级别）。

所以，本题可以迅速解决。

for(ll i=1,t;i<=n;i=t+1) { //i是块的开头，t是块的末尾，每次枚举一个块
		t=n/(n/i); ll len=(t-i+1)%MOD; //算出块的长度和末尾
		ans=(ans+len*(n/i)%MOD)%MOD; //统计
} 

（这是伪代码，大家欣赏下就行）

整除分块是常用技巧，一定要学会哦！