洛谷 P1438 无聊的数列 题解
首先,我们考虑用差分解决问题。
用 \(x_i\) 表示原数列,\(a_i = x_i - x_{i-1}\)
那么,先普及一下差分:
如果我们只需要维护区间加值,单点求值的话,你会发现两个重要等式:
\[a_i = x_i - x_{i-1}
\]
\[\sum_{j=1}^i a_j = x_i
\]
我们每次修改 \(l,r\) 区间增加 \(k\) 的话,你会发现:
则 \(l+1,r\) 这一段,所有的 \(a_i\) 都是不变的。这是因为:
\[(x_i + k) - (x_{i-1} + k) = x_i - x_{i-1} = a_i
\]
那么对于 \(a_l\) 这个点,显然:
\[(x_l + k) - x_{l-1} = (x_l - x_{l-1}) + k = a_l + k
\]
对于 \(a_{r+1}\) 这个点,显然:
\[a_{r+1} - (a_r + k) = (a_{r+1} - a_r) - k = a_{r+1} - k
\]
这是正常的差分。
可是,我们现在加上了一个 等差数列 。由于等差数列的性质,显然每个点加上的值比前一个点多 \(d\).
所以, \(l+1 , r\) 这一段, \(a_i \gets a_i + d\) .
那么对于 \(a_l\) 这个点:
\[(x_l + k) - x_{l-1} = (x_l - x_{l-1}) + k = a_i + k
\]
对于 \(a_{r+1}\) 这个点:
\[x_{r+1} - (x_r + k + (r-l) \times d) = (x_{r+1} - x_r) - (k + (r-l) \times d) = a_{r+1} - (k + (r-l) \times d)
\]
下面我们考虑单点查询。
\[x_i = \sum_{j=1}^i a_j
\]
显然,我们用 线段树 维护 \(x\) 数组的区间修改和区间求和。
时间复杂度: \(O(n \log n + m \log n)\).
空间复杂度: \(O(n)\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+1;
#define L (i<<1)
#define R i<<1|1
inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
struct tree{
int l,r; ll tag;
ll sumi;
};
tree t[4*N];
int n,m,x[N]; //原数组
ll a[N]; //差分后的数组
inline void update(int i) {
t[i].sumi=t[L].sumi+t[R].sumi;
} //更新
inline void pass(int i,ll x) {
t[i].tag+=x;
t[i].sumi+=x*(t[i].r-t[i].l+1);
}
inline void pushdown(int i) {
pass(L,t[i].tag);
pass(R,t[i].tag);
t[i].tag=0;
} //下传标记
inline void build_tree(int i,int l,int r) {
t[i].l=l; t[i].r=r;
if(l==r) {
t[i].sumi=a[l]; t[i].tag=0;
return;
} int mid=(l+r)>>1;
build_tree(L,l,mid);
build_tree(R,mid+1,r);
update(i);
} //建树
inline ll query(int i,int l,int r) {
if(l<=t[i].l && t[i].r<=r) return t[i].sumi;
int mid=(t[i].l+t[i].r)>>1; ll ans=0;
pushdown(i);
if(l<=mid) ans+=query(L,l,r);
if(r>mid) ans+=query(R,l,r);
return ans;
} //询问
inline void change(int i,int l,int r,int x) {
if(l<=t[i].l && t[i].r<=r) {
t[i].sumi+=x*(t[i].r-t[i].l+1);
t[i].tag+=x; return ;
} pushdown(i);
int mid=(t[i].l+t[i].r)>>1;
if(l<=mid) change(L,l,r,x);
if(r>mid) change(R,l,r,x);
update(i);
} //修改
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=ll(x[i]-x[i-1]);
// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]);
// putchar('\n');
build_tree(1,1,n);
while(m--) {
int opt=read();
ll l,r,k,d;
if(opt==1) {
l=read(),r=read(),k=read(),d=read();
change(1,l,l,k);
if(r>l) change(1,l+1,r,d);
if(r-n) change(1,r+1,r+1,-(k+(r-l)*d));
//维护
} else printf("%lld\n",query(1,1,read()));
}
return 0;
}
简易的代码胜过复杂的说教。