字符串笔记

前置知识：

\(KMP\)，字典树。

注：本笔记不含任何 \(AC\) 自动机内容。能用其实现的，我们也用 \(KMP\) 先做。

例1.

算法一

暴力枚举一个串的所有子串，然后暴力验证。

一个串的子串个数：

\[\sum_{i=1}^{1000} = 500500 \]

暴力验证： \(O(100 \times 1000 \times len)\)

（其中 \(len\) 为当前验证子串的长度

你会发现，这个算法显然不是很理想。我们考虑基于字符串匹配的某些算法进行优化。

算法二

仍然是枚举一个串的所有约 \(5 \times 10^5\) 个子串，但是暴力验证需要优化。

我们用 \(KMP\) 算法， 那么每次验证的时间复杂度就是：

\[O(100 \times (1000 + 1000 + len)) \]

（其中 \(len\) 为当前验证子串的长度

一个 \(1000\) 是建立 \(\texttt{next}\) 数组的时间，另一个 \(1000\) 是 \(KMP\) 的时间。

但是，稍作分析你就会发现，总时间复杂度约为：

\(O(5 \times 10^5 \times 100 \times (2000 + len) = 5 \times 10^7 \times (2000 + len))\)

显然还是不很理想。

算法三

同样是 \(KMP\) 算法，但是我们仍然有发现：

算法二中，\(\texttt{next}\) 数组不必计算多次，实则可以初始化一次，后面可以一直用。

那么时间复杂度就是：

\[O(5 \times 10^5 \times 100 \times len) \]

其中 \(len\) 为所有子串长度的总和。

但是，你会发现，这个算法仍然不是很理想的样子，还是会 \(TLE\) 啊！

分析

首先，我们 \(len\) 从大到小枚举，枚举到一个正确的答案就可以停止，那么很显然不会再枚举下面的答案。

由于串的个数很多，所以 \(len\) 不会很大，保守的估计在 \(100\) 左右。

那么，显然不可能每一个 \(KMP\) 都跑满了，尤其是那些验证子串很大的， 几乎是线性。

通过实践表明，可以跑过。

例2.

   有很多单词，只由小写字母组成，不会有重复的单词出现。统计出以某个字符串为前缀的单词数量。(以一个空行隔开单词和前缀字符串)

显然呢，是个字典树模板，不用多说了吧。

例3.

首先呢，你可能想到的是：

\(KMP\) 暴力匹配，初始化 \(\texttt{next}\) 数组，瞬间解决！

虽然确实如此 但是我还要弱弱的提醒一下：

\[100 \times 1350000 > 10^8 \]

也就是说 \(KMP\) 如果跑满时间复杂度就 \(T\) 掉了。

但是呢？

你会发现多次 \(KMP\) 根本就跑不满这个时间复杂度（像上面的那道），因为如果是随机数据，然后你从最长的串开始验证，直接把它 \(\texttt{PASS}\) 掉就完了，后面的不用再看。

可是无法避免人造数据啊。

比方说， \(n=100\)，然后 \(100\) 个串都是 \(100\) 个 \(\texttt{a}\)，每次询问一个长 \(1.35 \times 10^6\) 的串，它前 \(1.35 \times 10^6 - 100\) 个都是 \(\texttt{b}\)，后面 \(100\) 个都是 \(\texttt{a}\).

这种情况下，虽然每次都是 \(\texttt{Yes}\)，但是你的 \(KMP\) 成功地跑满了时间复杂度然后就 \(T\) 掉了。

可是多次思考后我们发现，似乎没有比这更优的算法？（有当我没说）

所以就不管它，直接硬跑就完事了。（\(T\) 了不管我事）